Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 18

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 95 >> Следующая

^ п), таких, что
/(*<)-?>*; о«<»). (2>
1
Эта таблица называется матрицей отображения f в базисах В, В'.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ §1
п
Образом вектора х== ? х1е1 из Е является вектор
/=1
р
# = /(*)—2 уЛ из Е с координатами
к= 1
Ук^'кх&м (1 <?</?). (3)
1 = 1
В случае правых векторных пространств Е, Б формулы (2) и (3) заменяются следующими:
= 0 <*<«), (20
к— 1
п
У к = Е Ч1Х1 (1 < к < р), (30
1=1
и отображение f определяется тогда условиями
/ ( Е <?л) = Е / Ы = Е
В частности, всякая линейная форма f на левом (соотв. правом) векторном пространстве Е записывается в виде
/ ( Е *!<?<) = Е хЛ (ед
(соотв. / (Е е,х,) = Е / (е{) *<).
где /(в/) — элементы тела К.
Если /(— поле, то мы возвращаемся к привычным формулам.
Мы не станем развивать здесь матричное исчисление над некоммутативным телом.
6. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ,
ДУАЛЬНОСТЬ
Линейные формы были определены в § 4. Теперь Мы изучим их связь с геометрическим понятием гиперплоскости.
62 ГЛ. ІГ. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Определение 6.1. Пусть Е — векторное пространство над телом К. Векторной гиперплоскостью в Е называется такое его векторное подпространство Я, что размерность Е/Н равна 1.
? Предложение 6.1. Для того чтобы векторное подпространство Я пространства Е было гиперплоскостью, достаточно, чтобы в Е существовал такой элемент а, что Е = Я © Ка.
Обратно, если Я — гиперплоскость в Я, то Е = ?= Я ® Ка для любого а е Я\Я.
Доказательство. а) Если Я = Я © Ка, то Я допускает в качестве дополнительного подпространства прямую Ка. По теореме 4.3 размерность Е/Н равна 1 и Я — гиперплоскость.
Ь) Если Я — гиперплоскость, обозначим через р: Е-+Е/Н каноническую проекцию. Поскольку Я/Я одномерно, Я\Я не пусто, и для каждого а е Е\Н векторное пространство Я/Я порождается элементом р(а). Дя каждого х^Е существует А е/С, такое, что р (х) = Хр(а), что равносильно х — Ха ^ Н. Следовательно, Е = Н + Ка и, поскольку Я П (Ка) = {0}, имеем Я = Я © Ка.
Следствие. Для того чтобы векторное подпространство Я пространства Я было гиперплоскостью, необходимо и достаточно, чтобы у Я имелось дополнительное подпространство размерности 1.
Заметим, что гиперплоскости можно было определить этим свойством, не прибегая к понятию фактор-пространства.
Пример. Пусть Я — векторное подпространство в Е = К[Х), образованное многочленами без свободного члена. Тогда Я допускает в качестве дополнительного подпространства векторную прямую, порожденную скалярами; значит, Я есть векторная гиперплоскость пространства К[Х].
^ Теорема 6.2, а) Ядро не равной тождественно нулю линейной формы является векторной гиперплоскостью.
6. Л И HER HUE ФОРМЫ. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ' 63
Ь) Обратно, если Я —векторная гиперплоскость в Е, то на Е существует линейная форма f, такая, что Я = Kerf, и если g — линейная форма, равная нулю на Я, то существует такой скаляр k, что g = fk. Следовательно, если Я=Кег[ = Кег?, то существует k е К*, такой, что g = fk.
Доказательство, а) Пусть f е Е”, f Ф 0 и Я == Кег f. По предположению, существует такой вектор ве?, что f (а) Ф 0; положив 6 = [f(a)]_1a, найдем, что /(b) — 1. Для каждого те? вектор у — х — f(x)b удовлетворяет равенству f(y) — 0, т. е. уеЯ. Таким образом, х е Я + Кб, откуда следует, что Е — Н-f Kb, и, поскольку b ф. Н, Я — гиперплоскость.
Ь) Пусть Я — гиперплоскость и ае?\й, Для каждого существует единственный скаляр/(х),
такой, что х — / (х) а Я. Определенное таким путем отображение f: Е—>К очевидным образом линейно и хеЯ равносильно f (х) = 0, Итак, Я = Кег /.
Наконец, если g — линейная форма, равная нулю на Н — Кег/, то можно выбрать так, что
f(a)= 1. Тогда форма h: х н-> g (х) — f (х) g (а) обращается в нуль и на Я и ван, следовательно, на Н Ка = Е\ иными словами, h есть нулевая форма и ё — fk, где k — g{a) (напомним, что форма fk: х з- / (х) k линейна). ?
Следствие. Если Я, Н' — две гиперплоскости в Е и Я с Я', то Я — Н'.
Доказательство. Положим Я = Кег/, Я'=Кег?; форма g обращается в нуль на Я, и потому g = fk с k ф 0 и, значит, Я = Я'.
Замечание. Более общо: ядро полулинейной формы, не всюду равной нулю на Е, является гиперплоскостью. Действительно, полулинейные формы приводятся к линейным с помощью композиции с автоморфизмом тела К {см. упр. II. 13).
Дуальность
Мы рассмотрим отношение, называемое дуальностью, между пространством Е и сопряженным Е*.
64 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Для этого введем отображение
Ь: ЕХЕ*->К, (х, f)^f(x).
Это отображение билинейно 1), так как
(V (Я, 1х) € К2, V (*,/)€=? X Е*) Ь (Ях, /р) = Я/ (х) р.
(1)
Форма Ъ позволяет ввести между элементами пространства Е и сопряженного пространства Е* отношение ортогональности: элемент f е Е* назовем ортогональным к хе?, если f(x) = 0. Множество всех элементов из ?*, ортогональных к хеО, называется аннулятором х. В более общей форме введем
? Определение 6.2. Аннулятором2) подмножества АаЕ называется подмножество А°аЕ*, определяемое условием
А0 = {f а Е* | (Vx е= A) f (х) = 0}.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed