Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Сразу видно, что — строго возрастающий гомоморфизм (/С, +) в (13, + ), при котором /*( 1 /с 1 === 11 следовательно, /* = Л1/С и
(\/у<=К) [к (х)]~1 к(ху) = к(у),
т. е. /г(ху) = к(х)к(у).
Это соотношение распространяется на случай х << < 0 заменой х на —х, и ясно, что оно выполняется также и при х = 0. Следовательно, к является гомо-морфизмом тел.
Наконец, к(р-1К) = Р, откуда к{р/ц) = рД7, каковы бы ни были р^2 и <7 еN1*. ?
Из сравнения с теоремой 6.3 и следствием из предложения 8.1 с учетом предложения 6.2 выводится
^ Теорема 8.3. Любое упорядоченное поле /С, обладающее свойством (ВГ) верхней грани, изоморфно К,
Вопреки тому что имеет место для архимедовых групп, указанный здесь изоморфизм единствен. Эта единственность обеспечивается вторым из соотношений (1).
Согласно этим результатам, 13 является наибольшим архимедовым полем (с точностью до изоморфизма).
Гомоморфизмы поля 13 в себя
Из предыдущего видно, что монотонных гомоморфизмов поля 13 в себя, отличных от нулевого и тождественного, не существует. Но возникает вопрос, нет ли гомоморфизмов, не являющихся монотонными. Отрицательный ответ на него дает
? Теорема 8.4. Не существует гомоморфизмов поля (3 в себя, отличных от нулевого и тождественного.
Доказательство. Допустим, что такой гомоморфизм й существует, Для любого действительного х > 0 най-
8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ 39
дется действительное у > 0, такое, что у2 = х, откуда h(x) = (h(y)Y^ 0.
Для любой пары действительных иу vy таких, что u>vy получим тогда h (и)—h (и) =h(v — и) ^ 0, что доказывает монотонность hy и остается применить теорему 8.2.
Заметим, что, напротив, немонотонные гомоморфизмы группы IR в R существуют (см. § II. 10).
Подполя поля R. Мы видели, что множество Q рациональных чисел есть подполе поля IR, но существует и много других подполей, например:
• поле (называемое полем Галуа), порожденное корнями заданного многочлена с целочисленными коэффициентами, имеющего только действительные корни;
• поле алгебраических чисел, образованное действительными числами, являющимися корнями многочленов с целочисленными коэффициентами.
• в евклидовой геометрии мы естественно встречаемся с полем квадратных корней — наименьшим подполем К в IR, которое вместе с каждым положительным элементом содержит квадратный корень из него; это поле образовано теми действительными числами, которые можно получить из рациональных чисел с помощью конечного числа действий сложения, умножения, деления и извлечения квадратных корней (см. [СА]).
Существование упорядоченных неархимедовых полей
Известны примеры полей ненулевой характеристики (и потому не допускающих упорядочения), например поля Z/pZ, где р простое; с другой стороны, Q дает пример упорядоченного поля, не удовлетворяющего аксиоме (ВГ) о верхней грани. Для доказательства независимости аксиом, характеризующих R, мы приведем пример упорядоченного неархимедова поля.
Предложение 8.5. Пусть R(X) — поле рациональных дробей (частных многочленов) с действительными коэффициентами, рассматриваемых как функции с числовыми значениями.
40
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
a) Отношение линейного порядка на R(X) можно получить, полагая f ^ g, если существует действительное хо, такое, что f(x) ^g(x) для всех х ^ х0.
б) Снабженное этим отношением порядка R (х) будет упорядоченным неархимедовым полем.
Доказательство, а) Отношение, определенное на R(X), очевидным образом антисимметрично, рефлексивно и транзитивно, и f^g равносильно f — g ^ 0-
Но если h = Q/P — рациональная дробь, не равная тождественно нулю, то множество корней Р и Q конечно; следовательно, существует действительное х0, такое, что Р{х) и Q{x) при х^х0 сохраняют постоянные знаки; таким образом, верно одно из двух соотношений h > 0 или h < 0. Этим доказано, что порядок, определенный на 'R(X), линейный.
b) Без труда проверяются аксиомы упорядоченного поля. Для доказательства неархимедовости R (X)) достаточно заметить, что положительные элементы f, g, заданные как f(x) = x и g(x) = x2, удовлетворяют при любом /igN неравенству nf < g.
Замечания. 1) Данное в этой главе построение RI использует только теорию десятичных дробей (но не вообще теорию дробей): Q возникает просто как «множество отношений целых чисел», откуда уже выводятся все правила действий с дробями. Таким путем мы узакониваем прагматический подход современных программ обучения, где принято не слишком четкое (но достаточное!) понятие действительного числа и где рациональные числа рассматриваются как отношения целых чисел.
2) Введение на R порядковой топологии и понятия «сходящейся последовательности» позволяет дать другие аксиоматические характеризации R (см., например, [В02], гл. IV, или [LF — AR], т. 2).
3) Судить о пользе теоремы 6.3 можно по применению ее к доказательству существования функции «логарифм по основанию а» (см. упр. 1.9).
Глава II
СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Современное конструктивное изложение геометрии основывается на понятии векторного пространства; при этом в случае евклидовой геометрии ограничиваются конечномерными векторными пространствами над полем К.
