Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
^ Теорема 7.2. Для любого aeR существует единственное монотонное отображение фа: R-^R, удовлетворяющее условиям фа(1) = а и
(V (X, У) €= R2) <ра (х + у)= фа (х) + фа (У). (1)
Это отображение есть нулевая константа, если а = 0, и является биекцией при а ф 0. В частности, ф1 есть тождественное отображение.
Доказательство. Разберем сначала случай а = 0. Если фо — монотонное отображение R в R, удовлетворяющее условию (1), и фо(1) = 0, то прежде всего по индукции находим, что ф0(р) = 0 для любого peN; кроме того, фо(р) = 0 при всех ре Z и ф0(х)= = 0 для всякого х, удовлетворяющего неравенствам р ^ х < р + 1, где ре Z; окончательно, в силу монотонности фо(х), имеем фо(х)— 0 для всех xeR.
Если а ф 0, то отображение, обратное к ha, удовлетворяет выдвинутым требованиям. Чтобы показать, что не существует другого отображения с теми же свойствами, достаточно заметить, что если фа удовлетворяет условию (1), ТО отображение 0 = Аа'Лфа МОНОТОННО и 0(1)= 1, a также 0(х у) = 0(х) + 0(у) для любых действительных х, у. Поэтому 0 = А, = Hr в силу единственности Ai; отсюда с необходимостью
32
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел
Существование гомоморфизмов сра позволит нам определить произведение двух действительных чисел а, Ь равенством аЬ = уа(Ь). Предварительно мы установим, однако, некоторые свойства этих отображений.
Свойства гомоморфизмов <ра
Предложение 7.3. Если а, Ь — десятичные дроби, то фа (ь) = Фй (а) = аЬ. (2)
Доказательство. Из соотношения (1) легко выводим, что
(V* е К, ур ^ 2) фа (рх) = рфа (л:), откуда при х = 10~п
(ур е 2) 10"Фа (10"» = Фа (р) = рФа (1) = ;,
и если а — десятичная дробь, то
Фа(10~"р) = КГ"ра, откуда получаем (2), полагая Ь = 10~пр. ?
Предложение 7.4. Семейство (фа) удовлетворяет условию
(у {а, Ь) 6= К2) фа+6 = фа + Фб- (3)
Доказательство. Предположим сначала, что а ^ 0 и 6^0; тогда ф0 и ф* — возрастающие отображения; ТО же имеет место И ДЛЯ функции ф = фа + фй, для которой ф(1)=а+6, и путем сложения получается (1). Таким образом, ф = фа+*.
Аналогично рассматривается случай а <. 0, Ь < 0.
Чтобы разобрать случай аЬ <. 0, заметим, что единственность фа ВЛеЧеТ ф_а = —фа, ТЭК КЭК —ф_а удовлетворяет требованиям, наложенным на фа. Переставляя в случае необходимости а и Ь и заменяя их противоположными, можно свести дело к случаю а <2 0, Ь > 0, а + Ь > 0. Полагая с = а + Ь, получим ТОГДа, В СИЛу уже раССМОТреННОГО, ф_а + фс = фе+(-а) = = фй, т. е. (3). ?
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (Р, 4-). СТРУКТУРА ПОЛЯ 33
Предложение 7.5. Для любых действительных а, Ь имеет место равенство
Фа (Ь) = Фб (а)- (4)
Доказательство. Из предложения 7.4 немедленно получается, что для любого Ь е К отображение уь\ К->Р, Х(Ь) монотонно (возрастает при О,
убывает при 6^0) и удовлетворяет условиям, на* ложенным на ф&, так как 'ф6(1) = ф1 (&)==&. Таким образом, ,ф& = фг? и (4) верно при любом аеК,
Произведение действительных чисел
Теперь мы можем дать такое
Определение 7.1. Произведением аЬ двух действительных чисел а, Ь называется действительное число
ф а(Ь) = ф ь(а).
Это определение оправдано тем, что в случае десятичных дробей оно приводит к их обычному произведению (см. предложение 7.3). Более того, предложения 7.4 и 7.5 показывают, что произведение действительных чисел дистрибутивно по отношению к сложению и коммутативно.
Для полноты установим следующее
Предложение 7.6. Произведение действительных чисел ассоциативно.
Доказательство. Если а, Ъ — фиксированные действительные числа, то функция ф = фа ° <рь удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на фаъ (поскольку гр(1) = фа(Ь)=аЬ). Таким образом, для любых действительных а, Ьу с имеем
Фаб (С) = Фа ° Фб (с) Н (аЬ) С = а (Ьс). Существование частного
Предложение 7.7. Для любых действительных а, Ь при Ь ф 0 существует действительное д, такое, что а = Ь(]. ?
Доказательство. По определению отображение ф^: XI—>Ьх является обратным к кь. Действительное
2 Ж. Лелон-Феррак
34
ГЛ. Г. ПОЛБ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
q = hb(o) удовлетворяет, следовательно, равенству а = bq. ?
Для того чтобы резюмировать полученные резуль-таты, введем
Определение 7.2. Поле К называется упорядочен-ным, если оно снабжено отношением линейного порядка, таким, что (Ку +)—упорядоченная група и для любого элемента а > 0 из К неравенство у ^ х влечет ау^ ах.
Теперь итоговая теорема может быть сформулирована так:
? Теорема 7.8. С введенными структурами порядка, сложения и умножения R является упорядоченным полем; каждое монотонное отображение qp: R-^R, удовлетворяющее условию
(V(X, у) S R2) ф(* + #) = ф(*) + ф(у),
имеет ВИД ф (х) = kx, k — const.
(Последнее утверждение следует из определения умножения.)
Замечания. 1) Если ху у — положительные действительные числа, то
Dn (х) Dn (у) < ху < (1 (Г* + Dn (х)) (10~n + Dn (у)) <
< Dn (х) Dn (у) + 10"" (D0 (х) + D0 (у) + 3). Отсюда легко выводим, что
ху = sup Dn (х) Dn (у); (5)
neN
при х < 0 или у < 0 это соотношение теряет силу.
По аналогии с определением суммы двух действительных чисел мы могли бы определить произведение положительных действительных чисел равенством (5), Тогда произведение чисел любого знака определялось бы по «правилу знаков». Но этот способ ведет к более длительным вычислениям, чем данный здесь (см, [LF2] ).
