Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
28
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
начала § 1. Действительное число ки{х) есть, таким образом, Мера величины х при выбранной единице измерения и.
Мы увидим далее, что /ги(х) можно истолковать как отношение величины х к величине и.
6. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ К КАК ГРУППЫ1)
Выделенных до сих пор свойств еще недостаточно для характеризации Р (с точностью до изоморфизма): так, 2 есть собственная подгруппа в Р и, значит, архимедова группа, обладающая, кроме того, свойством верхней грани. Для того чтобы охарактеризовать К только с помощью указанных выше структур, введем
Определение 6.1. Говорят, что линейно упорядоченное множество X не имеет дыр, если для любых а < Ь из Р существует элемент с, лежащий между ними: а < с <Ь.
? Определение 6.2. Говорят, что линейно упорядоченное множество X обладает свойством верхней грани, если оно удовлетворяет следующей аксиоме:
(ВГ) Любое непустое и мажорируемое подмножество X имеет (в X) верхнюю грань.
Наконец, говорят, что X непрерывно, если оно не имеет дыр и удовлетворяет аксиоме (ВГ).
Из этих аксиом вытекают такие следствия:
Предложение 6.1. Пусть (7— упорядоченная абелева группа без дыр; для любого элемента а > Оо из (7 существует последовательность (ап) элементов (7, удовлетворяющих неравенствам
(ул^М) 0<2 (1)
Доказательство. Полагая а0 = а, строим такую последовательность индуктивно: считая ап известным,
!) Изложение в этом параграфе навеяно заметками, которые составил Ж. М. Эксбрейа для соискателей конкурса на место преподавателя.
Ь. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ р КАК ГРУППЫ 29
находим такое с, что 0 < с < ап, и полагаем ап+\ = = т{(с^йп — с); тогда 2ап+\ ^ ап и (1) устанавливается индукцией по п.
Предложение 6.2. Любая абелева упорядоченная группа (7, удовлетворяющая аксиоме (ВГ), архимедова.
Доказательство. Проводим рассуждение от противного. Допустим, что существует пара (а, 6)е<72 с а > 0, такая, что
(уя^М) па^Ь.
Тогда множество А = {па|>геМ} будет непустой частью й с мажорантой Ь\ у него существует верхняя грань а. Элемент а — а не является мажорантой Л, и потому найдется целое р, такое, что ра > а — а, откуда (р + 1)а > а» что противоречит определению а. ?
Замечание. Мы получили таким путем новое доказательство того, что группа (К, +) архимедова.
Основная теорема об изоморфизме
Теперь мы в состоянии дополнить теорему 5.2 следующим образом:
Теорема 6.3. Пусть й — архимедова группа и а — ее ненулевой элемент. Для того чтобы ассоциированный гомоморфизм ка (см. следствие из теоремы 5.2) был сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы группа (7 была непрерывной.
Доказательство. Поскольку к~а = —ка, можно предполагать, что а > Ос.
a) Условие необходимо: если гомоморфизм ка сюръективен, то при а > Ос он является строго возрастающей биекцией (7 на Р и устанавливает соответствие между верхними гранями подмножеств (7 и Р; из непрерывности Р следует непрерывность (7.
b) Чтобы доказать достаточность условия, зададимся произвольным действительным у и попытаемся построить такое х €= (7, что ка(х) = у. Поскольку в (7 нет дыр, предложение 6.1 позволяет нам построить
зо
ГЛ. І. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
последовательность (ап) элементов <7, такую, что О < 2пап ^ а при каждом л е N. Тогда последовательность ип — 04п удовлетворяет условиям 0 < < 10пип < 24паАп ^ 0, откуда 0 < ка (ип) < 10~й.
Положим гп = Ьа{ип); существует последовательность целых чисел (рл), для которой
р„е„<г/< (1 +рп)еп, (2)
откуда в силу возрастания На
(V {т, п) е= М2) рпип < (1 +рт) ит.
Последовательность (рпип)пеЫ, таким образом, мажорируема; поскольку й удовлетворяет аксиоме (ВГ), эта последовательность имеет верхнюю грань х, для которой
р„ы„< Х<(1 +рп)ип,
откуда
РпРп ^ ^а (*^) ^ О "Ь Рп)
Из сравнения с (2) видно, что ка(х) и у при любом п е N допускают одно и то же приближенное значение с точностью до гп, где гп ^ 10"й.
Равенство ка(х) — у вытекает теперь из предложения 3.4. ?
? Следствие. Любая непрерывная упорядоченная абелева группа изоморфна (Р, +).
Мы получили аксиоматрическую характеризацию (Р, +) с точностью до изоморфизма. Возвращаясь к теореме 5.2, можно также сказать, что (Р, +) с точностью до изоморфизма есть наибольшая архимедова группа.
Архимедова группа (Р, +) является, таким образом, наибольшим элементом среди расширений 2,\ ее нельзя дальше расширить без потери каких-либо свойств.
Это свойство, называемое «полнотой» Р, было принято в качестве аксиомы Гильбертом [Н1 — ИО].
В упр. 1.7 проводится исследование подгрупп группы (К, +).
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R, +). СТРУКТУРА ПОЛЯ 31
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R,+). СТРУКТУРА ПОЛЯ. ГОМОМОРФИЗМЫ (R, +) В СЕБЯ
Теорема 6.3 применима, в частности, к самому R, поэтому можно сформулировать
^ Предложение 7.1. Для каждого действительного а Ф 0 существует единственное монотонное отображение ha: R->R, удовлетворяющее условиям ha(a) — = 1 и
(V (х, у) е R2) ha (х + у) = ha (х) + К (у) и являющееся биекцией. В частности, hx = IcIr.
Изучение обратного отображения для ?gR приводит к следующему важному результату:
