Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
2) Можно заметить, что при нашем построении поля действительных чисел частное a/b — hb(a) двух
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (Р, +). СТРУКТУРА ПОЛЯ 35
чисел введено фактически раньше их произведения аЬ = <ра{Ь). Это связано с тем, что частное g/u двух измеримых величин (равное по определению мере величины ? при выбранной единице измерения и) имеет физический смысл, которого нет у их «произведения»,
'Существование квадратичного корня
? Теорема 7.9. Каждое положительное действительное число имеет единственный положительный квадратный корень (и, следовательно, единственный отрицательный квадратный корень).
Доказательство. Заметим прежде всего, что если а, Ь — два положительных действительных числа, то неравенство а2 > Ь2 равносильно неравенству а > Ь; единственность положительного квадратного корня этим устанавливается. Остается доказать его существование.
При данном действительном х > 0 положим для каждого п е N
'Легко видеть, что Рп имеет мажоранту 10"(1 +х0), где Хо = йо{х) — целая часть х. Обозначим через р„ наибольший элемент в Рп? Для каждого п е N. будем иметь
(10-прп)2^х<(10-п(1+рп))\ (6)
откуда, поскольку целые рп положительны,
(V К п) е ю 10-яря < 10~т (1 + рм).
Итак, множество {10_пр„}яеМ мажорируемо и его верхняя грань у удовлетворяет неравенствам
(V* е N1) 10~пра < КГ" (1 + рп). (7)
Из сравнения с (6) мы видим, что действительные числа х и у2 оба допускают (К)~прп)2 как приближенное значение с точностью до гп= 10~2п(1 + 2рп)\ если обозначить через Ь целое число, мажорирующее последовательность (10~прп), то будем иметь
вл<1<Гя(1+2&).
2*
36
ГЛ. Г. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В силу произвольности п, предложение 3.4 влечет равенство у2 = х.
С учетом (6) мы видим тогда, что первое неравенство (7) можно заменить строгим неравенством; отсюда вытекает, что \0~прп есть десятичное приближение порядка п для у = л/ х.
Этим объясняется, почему практически в процессе «извлечения квадратного корня с точностью до 10“"» получается собственное десятичное разложение квадратного корня (аналогичное замечание можно сделать по поводу операции деления, см. упр. 1.2).
8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ.
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ Р КАК ПОЛЯ
Понятие упорядоченного поля1), введенное в предыдущем параграфе, позволяет уточнить некоторые свойства К, а также охарактеризовать Р как архимедово поле. Напомним сначала, что характеристика поля /С, обозначаемая саг /С, равна 0 или наименьшему р е N1*, такому, что ра = 0* для всех а е /С, и заметим, что существование ненулевого элемента а в /С, такого, что ра = 0/с, влечет рх — 0 для всех х^К (так как рх = (ра) (а~1х)). Имеет место следующее
Предложение 8.1. Любое упорядоченное поле /С, в частности К, имеет характеристику нуль.
Доказательство. Если К упорядочено, то соотношения п ^ 1 («еМ) и а>0/( влекут па > 0*; поэтому па Ф 0* и К — поле характеристики нуль.
Но в поле характеристики нуль любой элемент вида р-1ку где р — ненулевое целое, имеет обратный, обозначаемый просто р~1 или 1 /р\ отсюда для любого х^К следует существование элемента у = р~1х, для которого ру = х. Полагая р = 2, получим
Следствие. Каждое упорядоченное поле не имеет дыр.
*) В оригинале употреблено слово corps, т. е. тело; но в § 7 было дано только определение упорядоченного поля, и дальше, по существу, речь идет о полях (см. упр. I. 10), — Прим. перев.
8 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ I? КАК ПОЛЯ 37
В самом деле, если х < у, то действительное г — = 7г(х + у) удовлетворяет условию X <. 2 <. у.
Теорема о гомоморфизме
Напомним сначала, что если К и К' — два тела (необязательно коммутативные), то гомоморфизмом А тела К в К' называется отображение К в К', удовлетворяющее условиям
' (\/(х,у)^К2) к (х + у) = к (х) + к (у),
к(ху) = к(х)к(у).
Из этих условий следует, что !) к (Од) = 0К'. Если А не является нулевым гомоморфизмом (который определяется соотношением А(х) = 0/С' для всех хе/С), то имеем также А(1/С)=1/С' и
{ух е= К*) к{х~1) = [к{х)]~\
Это имеет место, в частности, если А — биекция, и тогда говорят, что А — изоморфизм тел.
Далее, упорядоченное поле К называется архимедовым, если его аддитивная группа (/С, +) архимедова; для этого необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из К имел мажоранту вида п- 1/с, где ле N.
^ Теорема 8.2. Если К — упорядоченное архимедово поле, то существует единственный монотонный гомоморфизм А из К в поле К, отличный от нулевого. При этом А строго возрастает и А (К) содержит подполе р из Р, образованное действительными числами вида
(ре7, ? е N1 которые называются рациональными.
Доказательство. Прежде всего условие А(1^) = 1 вместе с первым из соотношений (1) показывает, что А (если он существует) равен гомоморфизму групп Аа с а = 1 /с, определенному теоремой 5.2. Отсюда вытекает единственность А.
Покажем теперь, что гомоморфизм групп А = А1к
Нуль и единица тела К обозначаются 0*, Ц или просто 0, 1, если это не ведет к недоразумениям; К* обозначает
к \ {0}.
38
ГЛ. I. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
удовлетворяет и второму из соотношений (1). Для этого предположим, что х > 0, и рассмотрим отображение /*: /(->13, у*->[Ь{х)]~1Н(ху) с фиксированным действительным X.
