Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно заметить, что установленная связь между свойствами ряда Штурма для пары полиномов и тем, что их корни вещественны и разделяются, обратима. Именно, если имеются два полинома fo и fi степеней nun — 1 соответственно, с положительными старшими коэффициентами и с вещественными разделяющимися корнями, то алгорифм Евклида для построения ряда Штурма проходит без вырождения, так что все неполные частные имеют первую степень и старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны. Действительно, пусть х\, х2, Xn — корни полинома /0, a gi, .... g„-i — корни полинома /ь причем
Х\ < Ii < X2 < ... < Xn-i < In-I < Xn.
Для полинома fofx степени 2п—1 числа хь gi, х2, g„-i, хп будут корнями, причем простыми, ибо их число равно степени полинома. Поэтому fof\ меняет знак каждый раз, когда х проходит через эти корни. При достаточно больших по модулю отрицательных значениях X полином f0fi принимает отрицательные значения. Поэтому первая перемена знака, когда х проходит через х\, будет с минуса на плюс. Следующая, при переходе через gi, будет с плюса на минус и т. д. Таким образом, при переходе через все корни х\, ..., Xn полинома /о полином fo/i меняет знак с минуса на плюс, так что все корни /о имеют первый тип по отношению к U-Следовательно, разность числа перемен знаков в значениях ряда
232
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
[ГЛ. IX
Штурма, построенного исходя из /о и Z1 при помощи алгорифма Евклида, при —со и +оо равна п, что возможно только в случае, если алгорифм проходит без вырождения и старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны.
4. Число корней полинома в полуплоскости. В теории дифференциальных уравнений и в ее приложениях важную роль играет распределение корней полинома в левой и правой полуплоскостях плоскости комплексной переменной г. Технически удобнее исследовать этот вопрос для верхней и нижней полуплоскости; первая задача сводится ко второй посредством замены z = ш.
Пусть f (г) = a0zn + (?i + b\i)zn-x + ... + an + bni— полином с вещественными а,- и bh а0 > 0. Положим
g (х) = а0хп + а^х"-1+ ... +ап и h(x)= bix"-1 + ... +Ьп.
Будем считать, что f(z) не имеет вещественных корней. Это равносильно тому, что g(x) и h(x) не имеют общих вещественных корней, так что если они не взаимно просты, то их наибольший общий делитель не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знак при изменении х по всей вещественной оси.
Пусть X двигается по всей вещественной ОСИ OT —OO K +ОО, Тогда f(x) = g(x) + ih(x) будет описывать некоторую непрерывную линию на плоскости, не проходящую через начало координат.
При X-> +о© и X-5—оо tgarg/(x) = -|-?^-->0, так что аргумент
f(x) при X + оо и X-5—оо стремится к целому кратному я, и приращение аргумента f (х) при прохождении х по всех вещественной оси равно целому кратному я. Это значит, что линия, по ко-
Все Zi лежат или выше, или ниже вещественной оси. Ясно, что A arg (л: — 2,) = 0 — (—я) = я, если 2,- выше вещественной оси, и Aarg(x — 2,) = 0 — я==—я, если 2,- ниже вещественной оси (см. рис. 15). Следовательно, A argf (х) = я(щ— п2), где п\ — число корней f(z) в верхней полуплоскости, п2 — в нижней (с учетом кратностей).
Число полуоборотов ¦J- A arg f (х) можно подсчитать при помощи следующих геометрически наглядных соображений. Кривая, по которой перемещается f(x), при каждом полуобороте должна пересекать ось ординат. Это будет происходить каждый раз, когда
торой перемещается f(x), совершает целое число полуоборотов вокруг начала координат.
Разложим f{x) на линейные множители над 1С."
f(x)= CL0(X — Zi) {Х — Z2) ...
Рис. 15.
... (X-Zn).
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ШТУРМА 233
Рис. 16.
л проходит через корень нечетной кратности полинома g(x). Линия, изображающая f(x), может пересекать ось ординат в положительном направлении, переходя из первой четверти во вторую или из третьей в четвертую, или в отрицательном направлении (из второй четверти в первую или из четвертой в третью; рис. 16). Интуитивно ясно, что число полуоборотов вокруг начала равно разности числа положительных пересечений линии f(x) с осью ординат и числа отрицательных пересечений (в предположении, что число полуоборотов в отрицательном направлении считается отрицательным числом).
Более подробно это можно пояснить следующим образом. С вектором из начала координат в f(x) свяжем вектор единичной длины того же направления, его конец будет перемещаться по единичной окружности. Приращение аргумента f(x), разумеется, равно приращению аргумента соответствующего единичного вектора. Ясно, что если единичный вектор проходит некоторую дугу окружности и затем возвращается обратно, то такое перемещение можно исключить без изменения суммарного приращения аргумента. Пометим последовательные пересечения точкой f(x) ординат последовательностью знаков + и —,в соответствии с правлением этого пересечения. Пусть в получившейся записи окажутся рядом + и —. Это значит, что f(x) перешел из первой четверти во вторую (или из третьей в четвертую) и возвратился из второй четверти в первую (соответственно, из четвертой в третью), ибо попасть в противоположную четверть, не пересекая оси ординат, f(x) не может. Соответствующий единичный вектор тоже идет вспять, и часть пути, содержащую обе точки пересечения, можно исключить. Аналогично можно исключить последовательность — -f-. После таких преобразований мы придем к движению, в котором все пересечения имеют один и тот же знак, и их число (с учетом знаков) равно разности числа положительных и числа отрицательных пересечений. Но если все пересечения имеют одинаковое направление, то их число, очевидно, равно числу полуоборотов в том же направлении.
