Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
••• + („- Di • так что IW = П*) — V-"7HV' Положим /о = U хп
/, = /' и /2 = —JjT-. Очевидно, что все требования для ряда
Штурма на интервале (—М, —б) выполнены. Таблица распределения знаков
h
h
12
-м
(-1)"
(_i)—i
(_!)«-!
-б
+
+
(-I)"-1
показывает одну перемену знаков при —M и одну или нуль перемен при —б, в соответствии с четностью или нечетностью п. Следовательно, полином / имеет один вещественный (отрицательный) корень при нечетном п и не имеет вещественных корней при четном п.
§ 4. Обобщенная теорема Штурма
1. Индекс полинома с вещественными коэффициентами относительно другого полинома. Пусть / и g— два взаимно простых полинома с вещественными коэффициентами. Скажем, что вещественный корень Xo полинома / есть корень первого типа относительно g, если произведение f(x)g(x) меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через х0, и, соответственно, х0 есть корень второго типа, если f(x)g(x) меняет знак с плюса на минус. Ясно, что корни первого и второго типа являются корнями нечетной кратности ибо, в силу взаимной простоты Z и g, если Z(^o) = O, то g(xQ) Ф 0, и знак f(x)g(x) меняется, только если меняется знак f(x), что имеет место, только если Xq есть корень нечетной кратности.
Индексом на промежутке [а, Ь] полинома /, такого, что Ца)Ф фО, 1(Ь)Ф0, относительно полинома g называется разность числа корней Z первого и второго типа относительно g (кратные корни считаются по одному разу, корни четной кратности оставляются без внимания).
2. Обобщение теоремы Штурма. Пусть для взаимно простых полиномов / и g с вещественными коэффициентами построен ряд
230
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
ГГЛ. IX
полиномов fo = I, U "= ё, U, • • •, fk, удовлетворяющий первым трем требованиям ряда Штурма на некотором промежутке [а, Ь]. В частности, такой ряд можно построить при помощи алгорифма Евклида с изменением знаков остатков на обратный:
/о «= f\Si — /2. /1 — /2g2 — fa,
fk-2 — fk-lgk-\ fk)
fk = const.
Так построенный ряд полиномов будем по-прежнему называть рядом Штурма.
Теорема. Допустим, что f(x) не обращается в нуль на концах промежутка [а, Ь]. Разность числа перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма в начале и в конце промежутка равна индексу полинома f относительно полинома g.
Доказательство. Ясно, что так же, как при доказательстве теоремы п. 2 § 3, возможное изменение знаков промежуточных полиномов ряда не влечет за собой изменение числа перемен знаков. Оно может произойти только за сч,ет пары полиномов f0, f\. Здесь могут представиться четыре случая:
Io
Ii
fo
h
Io
fi
/0
Il
X < X0
—а
а
а
а
а
CT
—CT
а
X = Xq
0
а
0
(T
0
(T
0
CT
X > X0
а
ст
—ст
а
CT
CT
—CT
CT
В первом случае хо есть корень первого типа, а число перемен знаков уменьшается на единицу. Во втором х0 есть корень второго типа, и число перемен знаков увеличивается на единицу. В третьем и четвертом случаях хо есть корень четной кратности, а число перемен знаков не изменяется. Следовательно, пока х переходит от а к Ъ, число перемен знаков уменьшается на столько единиц, сколько имеется в промежутке корней первого типа, и увеличивается на столько единиц, сколько есть корней второго типа. Таким образом, разность числа перемен знаков в начале и в конце промежутка равна индексу f относительно g.
3. Полиномы с разделяющимися корнями. Пусть имеется последовательность полиномов ро, ри ..., рп, степени которых равны, соответственно 0, 1, п, старшие коэффициенты положительны, и имеются трехчленные соотношения:
Pk(x) = (akx + $k)Pk-i(x) — ykP«-2(x) при yk > О,
k «=¦ 2, 3.....п. Соотношения эти показывают, что полиномы
рп, Pn-u •••I Po составляют ряд Штурма, полученный исходя из
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ШТУРМА
231
= рп и /i = pn-i посредством алгорифма Евклида, причем алгорифм Евклида протекает «без вырождения», т. е. степень каждого последующего остатка на единицу меньше степени предыдущего. Распределение знаков, очевидно, дается следующей таблицей:
Pn Pn-I
Po
- OO
—
+
-{- OO
+ +
+
так что число перемен знаков при —оо равно п и при -f-oo равно 0. Это значит, что все корни полинома рп вещественны и все первого типа по отношению к рп—i« Последнее значит, что произведение рпрп-\ меняет знак с минуса на плюс каждый раз, когда х, возрастая, проходит через корень полинома рп. Следовательно, между соседними корнями рп произведение рпрп-\ должно изменить знак с плюса на минус, что возможно только при переходе через корень рп~и Таким образом, между соседними корнями полинома рп имеется корень полинома рп-\. Так как число корней полинома pn-i равно п—1 и число интервалов между соседними корнями полинома рп тоже равно п— 1, в каждом таком интервале лежит только один корень полинома рп-х- Про такое расположение корней двух полиномов говорят, что корни разделяются.
Из сказанного ясно также, что корни всех полиномов ри р2, ... вещественны и корни соседних полиномов разделяются.
