Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 1. Если действие в M ассоциативно, т. е. M есть полугруппа, то произведение упорядоченной совокупности а\, иг,. . • •, ап элементов не зависит от способа расстановки скобок, т. е. от порядка выполнения бинарных операций.
Доказательство. Назовем произведение (...((0102)03)04...), в котором сомножители присоединяются последовательно по одному слева направо, левонормированным. Докажем по индукции, что произведение с любой расстановкой скобок равно левонорми-рованному. Для п = 3 это верно в силу ассоциативности. Пусть п > 3 и уже установлена справедливость предложения для произведений из m элементов при m^n—1. Рассмотрим произведение п элементов O1O2 ••• On с какой-то расстановкой скобок (мы ее не пытаемся записать). Так как действие бинарно, это произведение равно произведению двух произведений йі02... я* и й/е+) ... ап, с какими-то расстановками скобок. В силу индуктивного предположения оба эти сомножителя равны левонормированным произведениям. Если k = п— 1, то рассматриваемое произведение равно (#ій2 ... ап-\)ап и получается из левонормированного произведения а\й2 ... un-i присоединением "справа еще одного сомножителя а,-., так что оно само левонормированно. Если же k <С п—1, то
(aia2 ,.. ak)(ak+i ... ап) = (а\а2 ... a*)((a*+i ... ап~\)ап)
и, в силу ассоциативности, равно ((а\а2 ... ak)'(ak+\ ... ап-\))ап. В силу индуктивного предположения (а\а2 ... ак)(ак+\ ¦¦¦ ссп-\) равно левонормированному произведению aia% ...Mn-U и после
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ
243
присоединения CLn получается снова левонормированное произведение. Предложение доказано.
Доказанное предложение дает возможность при записи «длинных» произведений в полугруппе не расставлять скобок, указывающих порядок выполнения бинарной операции.
В частности, произведение п равных сомножителей не зависит от способа расстановки скобок, так что имеет определенный смысл выражение ап (или па при аддитивной записи) и ат-ак = ат+к.
2. Аксиомы группы. В первой главе мы определили группу как полугруппу (т. е. множество с бинарным ассоциативным действием), в которой существует нейтральный элемент е— такой, что ае = еа = а при любом а, и для любого а существует обратный элемент а~1 —такой, что сНа = оа-1 = е.
Убедимся в том, что эти аксиомы группы можно несколько ослабить.
Предложение 2. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент е, т. е. такой, что еа = а при любом а, и для любого элемента а существует левый обратный а', т. е. такой, что а'а = е, то полугруппа является группой.
Именно эти требования были приняты в классической аксиоматике теории групп.
Доказательство. Докажем, что левый нейтральный элемент е является и правым нейтральным, т. е. ае = а при любом а. С этой целью рассмотрим произведение а"а'аа'а, где а' — левый обратный для а, а" — левый обратный для а', и подсчитаем его двумя способами. Во-первых, а"а'аа'а = ((а"а')а) (а'а) = (еа)е = = ае. Во-вторых, а"а'аа'а = а" {{а'а)а')а = а' (еа')а = а"а'а = = (а"а')а = еа = а. Итак, ае = а при любом а.
Теперь докажем, что левый обратный а' элемента а является и правым обратным для а, т. е. аа' = е. С этой целью рассмотрим элемент а"а'аа'. Во-первых, а" а'аа' = ({a" а') а) а' = (еа)а' = = аа''. Во-вторых, а"а'аа' = а"((а'а)а') = а"(еа') = а"а' = е. Итак, аа' = е, т. е. а' есть правый обратный для а.
В дальнейшем в мультипликативной записи вместо а' будем писать а~К
Предложение 3. Если в полугруппе имеется левый нейтральный элемент е и правый нейтральный элемент е', то они совпадают.
Действительно, ее' = е', так как е — левый нейтральный элемент и ее' = е, так как е' — правый нейтральный элемент.
Отсюда следует, что в условиях предложения 3 полугруппа содержит только один левый нейтральный элемент, ибо любой левый нейтральный элемент равен выбранному правому нейтральному элементу е' и, по аналогичной причине, в этих условиях полугруппа Содержит единственный правый нейтральный элемент. В частности, в группе существует только один нейтральный элемент. При
244
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ групп
ігл. x
использовании мультипликативной записи нейтральный элемент группы будем называть единицей группы и обозначать 1.
Предложение 4. В группе уравнение ах = Ъ при данных а и Ь имеет единственное решение х = а~хЬ. Уравнение уа = Ь имеет единственное решение у = Ьа-1.
Действительно, положим x=a~lb; тогда ах = a(a~xb) = Ь, Обратно, если ах = Ь, то атхах = а-1Ь и х=а~хЬ. Этим доказано существование и единственность решения уравнения ах = Ъ. Уравнение уа = Ъ рассматривается аналогично.
Из предложения 4 непосредственно следует единственность обратного элемента для любого элемента группы.
Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы (полугруппы) называется ее порядком.
Приведем несколько примеров групп сверх тех примеров, которые приводились в § 3 гл. 1. Невырожденные квадратные матрицы с вещественными элементами, очевидно, образуют группу относительно умножения. Эта группа неабелева и бесконечная. Невырожденные матрицы с элементами из конечного поля тоже образуют неабелеву группу, но эта группа конечна. Выяснение ее порядка является не очень простой задачей. Множество всех подстановок п элементов образует конечную неабелеву (при п > 2) группу порядка пі. Эта группа называется симметрической группой.
