Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
6. Циклические группы. Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента а, называется циклической группой. Говорят, это элемент а порождает такую группу. Ясно, что элемент а~1 тоже можно считать порождающим. Элементы а~", а-1, 1, а.....а", ... могут быть все попарно различны. В этом случае группа называется бесконечной (или свободной) циклической. Примером свободной циклической группы может служить группа целых чисел относительно сложения. Любая свободная циклическая группа ей изоморфна, изоморфизм задается соответствием nt—^a", ибо при умножении степеней элемента а показатели складываются.
Но возможно, что среди элементов циклической группы имеются равные. Если ak = am при k > m, то ak~m =1, так что в этом ¦случае некоторая степень с натуральным показателем порождаю-
$ 2] НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОРГРУППЫ 247
щего элемента равна 1. Наименьший натуральный показатель, обладающий этим свойством, называется порядком элемента а. Если порядок равен числу п, то среди элементов 1, с, с"-1 нет равных, ибо если бы нашлись равные, то разность показателей дала бы натуральный показатель, меньший чем п, обращающий степень а в единицу. Всякий же элемент ат равен одному из 1, а, о"-1, именно, аг, где г — остаток от деления т на п. Таким образом, порядок группы, порожденной элементом порядка пу тоже равен п.
7. Циклические подгруппы группы. Пусть G— данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если G— конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы G делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку порождающего элемента. Таким образом, верна следующая важная теорема.
Теорема 9. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
Пусть G — конечная группа порядка m и а — некоторый ее элемент порядка k. Тогда /л = M при целом / и am = (а*)' = 1. Следовательно, верно следующее предложение.
Предложение 10. Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу.
Это предложение не потребовало для своего доказательства особенно глубоких соображений. Однако из него непосредственно следует такой, казалось бы, нетривиальный факт, как теорема Эйлера. Действительно, примитивные классы вычетов по модулю m образуют группу относительно умножения и порядок этой группы равен значению (р(пг) функции Эйлера. Следовательно, для любого примитивного класса а имеет место равенство аф(т)=1 или, на языке сравнений, а*<т) = l(modm). Заметим, что при доказательстве теоремы Эйлера в гл. I мы использовали коммутативность умножения, в то время как в предложении 10 коммутативность группы не предполагается.
§ 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы
1. Определение. Элемент Ъ группы G называется сопряженным с элементом ui если существует сє G. такой, что b = с~*ас.
Подгруппа H группы G называется нормальной (или инвариантной, или нормальным делителем группы G), если она вместе с.каждым элементом содержит все сопряженные.
Ё абелевой группе лИбая подгруппа нормальна, так как в такой группе при любых а и с будет с~хас = а.
В группе квадратных невырожденных матриц над некоторым полем множество матриц с определителем 1 образует нормальную-подгруппу. Действительно, если det Л = 1, то det Л-' = 1, и если:
248
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
det B = 1, то det AB = 1. Далее, при любой невырожденной С будет det (C-1AC) = det А = 1. Группа ортогональных матриц — подгруппа в группе всех вещественных невырожденных матриц, но
Из определения нормальной подгруппы ясно, что нормальная
бой подгруппы К, содержащей Я. Действительно, если а є Я и включение с-'ас <= H выполняется при всех с є G, то оно подавно будет выполняться при всех C^K-
2. Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа. Предложение 1. Пусть H — нормальная подгруппа группы Guc — какой-либо элемент G. Тогда C-1Hc = П.
Действительно, по определению нормальной подгруппы, C-1Hc er Н. Пусть теперь а — любой элемент Н. Тогда сас-1 = = (C^)-1UC-1 <= H и а = с-1 (сас-1)с е C1Hc Поэтому HdC-1Hc и, следовательно, C-1Hc = Н.
Предложение 2. Если H — нормальная подгруппа группы G и с <= G, то Hc = сН.
Непосредственно следует из C-1Hc = Н. Достаточно умножить слева на с.
Предложение 3. Классы смежности по нормальной подгруппе образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой группы является сама нормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть G — группа и Я — ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности На и Hb, причем воспользуемся ассоциативностью умножения подмножеств и предложением 2. Имеем: На-Hb = Я(aH)b = H(Ha)b = = (HH)ab = Hab. Таким образом, произведение двух классов смежности оказалось классом смежности. Ассоциативность этого умножения нам уже известна. Далее, H(Ha) = (HH) а = На и (Ha)H = H (аН) = H (На) = На, так что Я есть единица при этом умножении. Наконец, (Ha^)(Ha)=Ha-1U = H и (Ha)(Ha-1) = = Наа~1 = Я, так что На-1 есть обратный элемент для На. Предложение доказано.
