Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Если имеет место при X = X0 положительное пересечение линии f (х) с осью ординат, то либо h(x0) > 0 и g(x) меняет знак с плюса на минус, либо /г(х0)<0 и g(x) меняет знак с минуса на плюс. В обоих случаях g(x)h(x) меняет знак с минуса на плюс, т. е. Jt0 является корнем g(x) второго типа. Соответственно, если при к = X0 имеет место отрицательное пересечение, то Xo является корнем g(x) первого типа относительно h(x).
Сопоставляя все сказанное, получим, что разность п\ — пъ числа корней f{x) в верхней и нижней полуплоскостях равно .взятому со
оси на-
234
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
(ГЛ IX
знаком минус индексу полинома g(x) относительно п(х) на всей прямой (—CXJ, +оо).
Определить индекс можно при помощи ряда Штурма, составленного посредством алгорифма Евклида. Если окажется, что g и h ие взаимно просты, то за последний полином ряда следует взять наибольший общий делитель g и Л, который не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знака при —оо -< < X < +оо.
Пример 1. g(x) = а0хп + aix"-1 + ... +a„<=R[x], о0 > О, и g(x) не имеет кратных корней. Рассмотрим полином f(z) = = g(z) + i%g'(z), где К — вещественный параметр, и выясним расположение его корней.
Пусть g имеет s вещественных корней и t пар сопряженных комплексных, так что s + 2t = п. Пусть К > 0. Ясно, что индекс g(x) относительно %g'{x) такой же, как относительно g'(x). Все вещественные корни g(x) являются корнями первого типа относительно g'(x), так что индекс g относительно g' равен s. Следовательно, п\ — П2 = —s, где п\ и «г — число корней полинома f(z) в верхней и нижней плоскости. Вместе С Ri + «2 = п = S + 2t это дает n\ = t и n2 = s + f. При К < 0 получим m = s-{-t и n2 = t.
При непрерывном изменении Я корни f(z) меняются непрерывно, и их пути не пересекают вещественную ось при К ф 0, поэтому они только при переходе % через 0 могут переходить из верхней полуплоскости в нижнюю и обратно. При этом t корней g(z) (т. е. корни f(z) при Я==0), лежащих в верхней полуплоскости, при изменении К будут оставаться в верхней полуплоскости, t корней, лежащих в нижней полуплоскости, останутся в нижней. Что касается s вещественных корней g{z), то при 1K > 0 они опустятся вниз, а при К < 0 поднимутся вверх.
Пример 2. Узнать, сколько корней в левой полуплоскости имеет полином f (г) = г3 + 2г2 + 4г + 2.
Сделав замену z = ш и умножив на —/, придем к полиному Ф (и) = м3 — 2ш2 — Au + 2t = «3 — 4« + t (—2«2 + 2), который имеет в верхней полуплоскости столько же корней, сколько f(z) имеет в левой полуплоскости. Применяя алгорифм Евклида к и3 — 4и и —2«2 + 2, построим для них ряд Штурма: и3 — 4и, —и2+1, и, —1. Получаем, что индекс и3 — 4и относительно —2и2 + 2 на промежутке (—оо, +оо) равен —3. Значит, все три корня полинома ф(«) лежат в верхней полуплоскости и, следовательно, все корни f(z) находятся в левой полуплоскости.
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома
1. Метод десятичных испытаний. Допустим, что мы нашли интервал (с, с +. 1), с є Z, в котором находится один простой корень полинома f(x)^R[x]. Значения полинома на концах интервала , имеют разные знаки. Разделим интервал на 10 равных частей и
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
235
выберем ту часть, в которой находится корень. Эта часть характеризуется тем, что /(х) на ее концах имеет разные знаки. Этот интервал снова разделим на 10 частей и выберем ту часть, в которой находится корень. После этого шага процесса мы получим корень с точностью до Ю-2, но можно продолжить процесс дальше для достижения большей точности.
При фактических вычислениях можно увеличивать на каждом шагу интервал в 10 раз. В этом варианте процесс выглядит так. Пусть корень Xi полинома /(x)=aoXra + ... + ап находится в интервале (с, с + \). Разложим f(x) по степеням х — с: f(x) = = b0(x — с)n + bi(х — с)"-1+ ... + Ьп, что делается по схеме Хорнера, и перейдем к полиному fi(y) = I0nf(x) после замены X — с = у/Ю. Этот полином имеет корень в интервале (0, 10); заключаем его между Ci и Ci -f- 1 и повторяем процесс. После двух
шагов получаем: Xx = с + + •—^ и C2 <С г < с2 + 1, так что корень известен с точностью до Ю-2.
Пример. Легко видеть, что полином /(х) = х3— X—1 имеет только один вещественный корень, и он заключен в интервале (1, 2). Вычислить корень этого полинома с точностью до 10~2.
Разложим f(x) по степеням х—1. Получим по схеме Хорнера
f (X) = (X-I)3+ 3(х—1)2+ 2(x—l) — 1. Заменим х=1+-^
и умножим на 103. Получим f і (у) = у3 + ЗО//2 + 20Ot/— 1000. Посредством проб получим, что 3 < г/i < 4. Разлагаем fi (у) по степеням у — 3. Получим Z1 (у) = (у — 3)3 + 39 (у — 3)2 + 407 (у — 3) —
— 103. После замены i/ = 3+и умножения на 103 получим
/2(z) = z3 + 39Oz2 + 40700z— 103 000, откуда найдем для корня: 2 < Zi <С 3. Итак, мы получили 1,32 <С х <С 1,33.
Описанный метод удобен для вычисления с невысокой точностью корней полинома небольшой степени с небольшими коэффициентами. Его недостаток — быстрый рост коэффициентов от шага к шагу.
2. Метод непрерывных дробей. Пусть для полинома /(х) снова известно, что он имеет один простой корень Xi в интервале (с, с + 1). Разложим f(х) по степеням х — с: f (х) =Ьо(х — с)" + ... ... +Ьп. Мы знаем, что Х\ — с лежит в интервале (0, 1). Сделаем инверсию этого интервала посредством замены х — с=* 1 /у и умножим на уп. Получим y"f(x) = bnyn+ ... + b0. На этом этапе коэффициенты не изменяются, но только записываются в обратном порядке. Корень ух построенного полинома лежит в интервале (1, +оо). Заключим его между двумя соседними целыми числами, C1 < yi <. Ci + 1, и повторим процесс. Пусть г/, =с{ + -^-,
