Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
2. Принцип аргумента. Пусть функция z=z(t) непрерывна при a 5? г =? b, z(a) = z(b) и, за исключением этого случая, г^х)Ф фг(і2) -при fi Ф Гг- В этой ситуации z описывает простой замкнутый контур, т. е. непрерывную замкнутую линию без самопересечений. Имеет место замечательная топологическая теорема Жор-дана о том, что простой замкнутый контур разбивает плоскость
на две связные части — внутри и вне контура (фигура на плоскости называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей на ней). Теорема Жордана тривиальна для окружности— точки ее внешней части характеризуются тем, что расстояние от них до центра больше радиуса, точки внутренней — тем, что это расстояние меньше радиуса. Теорема «на глаз» очевидна, если контур несложен, но наглядность теряется для более сложных контуров (см. рис. 11), особенно, если от контура ничего не требовать, кроме непрерывности.
Лемма. Пусть z проходит простой замкнутый контур в положительном направлении. Тогда приращение аргумента z — z\ равно 2я или 0 в зависимости от того, где находится z\ — внутри или вне контура.
Доказательство. Ограничимся геометрически наглядным случаем выпуклого контура, например окружности. Пусть Zx находится внутри контура (рис. 12). Число z — zx изображается
вектором, исходящим из точки Zx в точку г. Ясно, что когда z обойдет контур один раз в положительном направлении, вектор 2 — Zx обернется вокруг своего начала один раз, тоже в положительном направлении, и приращение аргумента z — Zx равно 2я.
Пусть теперь Zx находится снаружи контура (рис. 13). Тогда колебание аргумента г — zx не превосходит л, так что приращение аргумента может быть равно только нулю.
Лемма остается верной для произвольного простого замкнутого контура, но ее доказательство в общем случае довольно
Рис. 12.
Рис. 13.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
221
сложно. Для дальнейшего нам нужен только случай выпуклого контура, в частности окружности.
Теорема (принцип аргумента). Дан простой замкнутый контур и полином f{z), не имеющий корней на контуре. Тогда число корней полинома внутри контура (с учетом кратностей) равно
-^- A arg /(2), где Aarg/(z) есть приращение аргумента f(z), вычисленное в предположении, что z проходит данный контур один раз в положительном направлении.
Доказательство. Над полем .С, каждый полином может быть разложен на линейные множители, соответствующие корням. Пусть f{z)=aQ(z — Zi) ... (2 — Zn) — такое разложение. При обходе переменной z контура области все сомножители правой части и их произведение f(z) меняются непрерывно. Можно считать, что argf (2) = arg а0 + arg(2—- Zi)+ ... + arg (2 — zn), и, следовательно, A arg/(2) = Д arg(z — 21)+ ... +Aarg(2 — Zn) ¦ Здесь приращения отсчнтываются при однократном обходе z по контуру области. Слагаемые в правой части равны 2я или 0, в зависимости от того, лежит ли соответствующий корень Zi внутри или вне контура. Поэтому A arg/(2) = т-2я, где m — число корней, расположенных внутри контура, что и доказывает теорему.
Теорема позволяет фактически найти число корней в данной области, ограниченной простым замкнутым контуром. На контуре нужно взять достаточно густую сетку точек, в каждой точке вычислить значение полинома, нанести их на чертеж и проследить за приращением аргумента. Правда, заранее неизвестно, насколько густую сетку точек нужно взять.
3. Теорема Руше. Имеются случаи, когда принцип аргумента позволяет найти число корней полинома в области почти без вычислений.
Рассмотрим пример. Требуется узнать, сколько корней имеет полином z5 + 5z2— 3 внутри единичного круга |z|^l. На контуре 2 = е", О / 2я, второе слагаемое 5z2 = 5е2'7 преобладает по модулю над остальными, ибо |5z2| = 5, a |z5 — 3| :? 1-f-3 = 4. Ясно, что пока z обходит один раз единичную окружность в положительном направлении, 5z2 обойдет окружность радиуса 5 два раза, а /(г), будучи «привязан» к 5z2 вектором, изображающим г5 — 3, длина которого не превосходит 4, вынужден тоже обойти вокруг начала два раза. Поэтому полином г5 + 5г2 — 3 имеет внутри единичного круга два корня.
Пусть теперь требуется узнать число корней этого полинома в круге радиуса 2. Преобладающим слагаемым на контуре z = ¦= 2е'', О ^ 1я, оказывается 25 = 32е5'', модуль которого равен 32. Сумма остальных слагаемых 5z2— 3 по модулю не превосходит 5-2B-j-3 = 23. Слагаемое z5 обходит начало координат 5 раз, и f(z), отходя от г5 не более чем на 23 единицы, тоже обходит начало 5 раз. Число корней полинома в круге радиуса 2 равно б.
222
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
{ГЛ. IX
Итак, мы узнали, что г5 + 5z2— 3 имеет 2 корня в единичном круге и 3 корня в кольце между окружностями I z I= 1 и I z I = 2.
Приведем теперь теорему, частными случаями которой являются только что приведенные рассмотрения.
Теорема (Руше). Пусть полином }(z) = /і(z)-f-/2(г) представляется в виде суммы двух полиномов, и на контуре области выполнено неравенство |/2(z) | <. | /i (г) |. Тогда число корней полиномов f(z) и fi(z) внутри области одинаково.
