Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Снизу: составим g(x) = х5 + Зх3 + 4х2 — 2х — 4, имеем — X1 <
5 _
< і + V4 < з.
Итак, —3 < Xi <. 3.
Оценка Маклорена довольно грубая. Имеется много других приемов оценивания вещественных корней полиномов с вещественными коэффициентами. Мы не будем на этом останавливаться.
2. Теорема Штурма. Здесь будет решена следующая задача. Дан полином с вещественными коэффициентами и дан промежуток на вещественной оси. Требуется узнать, сколько корней имеет полином на этом промежутке. Способ решения этой задачи осно-
распределение вещественных корней полинома
225
ван на принципе счетчика. К переменной х, двигающейся от левого конца промежутка, будет «приделан счетчик», стрелка которого поворачивается на одно деление, как только х проходит через корень полинома. Тогда число корней полинома на интервале равно разности показаний счетчика в начале и в конце интервала. Роль показаний счетчика будет играть число перемен знаков среди значений некоторой конечной последовательности (последовательности Штурма) вспомогательных полиномов. Под числом перемен знаков в некоторой последовательности вещественных чисел понимается число пар соседних элементов последовательности, имеющих противоположные знаки, причем нулевые члены исключаются из последовательности.
Последовательность /0, /ь ..., /& Штурма полиномов, построенных для данного полинома / = /0, удовлетворяет следующим требованиям при значениях х из данного интервала (а, Ь):
1. Последний полином fk не обращается в нуль.
2. Два соседних полинома не обращаются в нуль одновременно.
3. Если некоторый полином fi, 1 і ^ k—1, обращается в нуль в некоторой точке Xq, то соседние полиномы fi-i и fi+i имеют в Xq значения противоположных знаков.
4. Произведение /о/і меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через корень полинома /о-
Теорема Штурма. Число корней полинома f(x) в промежутке [а, Ь] равно числу перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма при х = а минус число перемен знаков при х = й. Предполагается, что концы промежутка не являются корнями f(x)>
Тем самым ряд Штурма играет роль «счетчика» корней.
Доказательство проводится по принципу счетчика. Рассмотрим промежуток [а, Ь]. Ha нем имеются корни начального полинома /о = f и корни других полиномов ряда Штурма. Мы докажем, что число перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма изменяется, только когда х проходит через корень начального полинома, и тогда это число уменьшается на 1. Ясно, что полином, в силу непрерывности, может изменить знак, только когда х проходит через корень полинома. Поэтому нам нужно проследить, что происходит со знаками и с числом перемен знаков при переходе через корень начального полинома и через корни других полиномов Штурма. Пусть X0 является корнем некоторого полинома f,(х) ряда Штурма и не является корнем начального полинома. Может случиться, что кроме полинома fi(x) некоторые другие полиномы тоже обращаются в нуль при х0. Допустим, для определенности, что таким полиномом является //(х). Пусть все остальные полиномы ряда Штурма не обращаются в О в точке х0. Выберем промежуток (х0 — б, X0 + б) настолько малым, что в нем не содержится ни одного корня полиномов ряда Штурма, кроме Xe, и про-
226
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
[ГЛ. IX
следим за изменением числа перемен знаков, когда х проходит этот промежуток. С этой целью рассмотрим следующую таблицу:
/о
п I...
/1-1
U
ft+i
fi-i
//
//+I I ...
X0- б < X < X0
ст
ст
—а
—а
J о.
—CTi
X = ха
ст
0
—а
О
—ст.
X0 < X < X0 + б
ст
CT
—ст
—а
CTi
—ст.
Полиномы /о, fi-u fi+i...../7-і, fi+u fk в нуль не обращаются, и их знаки не изменяются на всем промежутке (х0— б, Xq + 6), следовательно, и число перемен знаков среди пар, не включающих ft и fi, не изменяется. Пусть /Vi (хо) имеет знак о (+ или —). Этот знак сохраняется на всем промежутке (х0— б,
X0 + 6). По Третьему СВОЙСТВУ ПОЛИНОМОВ Штурма ПОЛИНОМ fi+i
имеет знак —а. Какие бы знаки ни имел полином fi слева и справа от Xq, число перемен знаков в отрезке fi-i, ft, f«+i ряда Штурма остается равным 1 и не изменяется. Такая же картина имеет место на отрезке fj-\, ff, fi+i. Таким образом, когда х проходит по промежутку, не содержащему корней начального полинома fQ = f, но, быть может, содержащему корни других полиномов ряда, число перемен знаков среди значений полиномов ряда Штурма не изменяется.
Пусть теперь х0 — корень начального полинома /0- Возможно, что кроме него при X0 обращаются в нуль какие-либо другие полиномы. Положим, что fj(xo) = 0. Рассмотрим снова таблицу распределения знаков:
fo
fi j •••
//-I
ft
fi+i\ ...
fk
X0 — б < X < X0
-CTi
CTi
CT
—CT
X = X0
О
CTi
CT
о
— CT
X0 < X < X0 + б CTi CTi a ~a
На участке f/_i, f,-, f,+i ряда Штурма картина распределения знаков будет такая же, как в предыдущем случае, так что, хотя знак полинома fi может измениться, число перемен знаков на этом участке не изменится. Полином /і в точке х0 не обращается в О, согласно второму свойству ряда Штурма. Пусть ai — знак fi(xo). Этот знак полином fi сохраняет на всем промежутке (х0 — б, X0 + 6). Согласно четвертому свойству ряда Штурма знак /о(х) до Xo противоположен знаку /і(х), а после х0 знаки /0(х) и fi(x)
