Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
f 3] ' РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА 227
одинаковы. Таким образом, на участке /0, fi ряда Штурма, а следовательно, и во всем ряду Штурма число перемен знаков уменьшается на единицу (счетчик повернулся на одно деление).
Сопоставляя все сказанное, делаем вывод, что при изменении X от а до & число перемен знаков среди значений полиномов ряда Штурма уменьшается на столько единиц, сколько корней полинома f0(x) лежит между a a. Ь, что и доказывает теорему Штурма.
Из рассмотрения второй таблицы мы видим, что число перемен знаков при корне х0 начального полинома такое же, как направо от корня, и на единицу меньше, чем налево от корня. Принимая это во внимание, мы можем в теореме Штурма снять предположение, что /о не имеет корней на концах промежутка. Если начало а является корнем, то при отходе от него вправо число перемен знаков не изменится, а если конец Ь является корнем, то при подходе к нему слева в последний момент число перемен знаков уменьшится на одну единицу. Таким образом, разность числа перемен знаков значений полиномов ряда Штурма в начале и в конце промежутка равна числу корней полинома f на этом промежутке, исключая левый конец (если он является корнем) и включая правый (если он является корнем).
3. Построение ряда Штурма. Заметим прежде всего, что если полином имеет на (а, Ь) корень .V0 четной кратности, то для него построение ряда Штурма невозможно. Действительно, нужно, чтобы /і(хо)=5^=0, так что знак полинома fi(x) должен сохраняться в окрестности х0. Так как хо— корень четной кратности для fo(x), полином fo(x) тоже не меняет знака в окрестности Хо, так что /о(х)/і(х) не может изменить знак, как это должно быть согласно последнему требованию. Однако удовлетворить этому требованию можно всегда. Именно, верно следующее
Предложение. Произведение полинома f(x)&R[x] на его производную меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через корень f(x).
Доказательство. Пусть х0 — корень полинома f(x) кратности k, так что f(x) = (x — x0)kg(x) и g(x0)?=0. Тогда
/' (х) = k (х - X0) k-lg (х) + (х- X0) kgf (х) =
= (х - X0) (kg (X)+ (X- X0) g' (X) )\
так что f (х) Г (х) = (х-х0)^-1 [k(g (х) у+ (x-x0)g(x)gf(x)] = = (X -X0) 2^1F(X).
Имеем F(x0) = fe[g(х0)]2 > 0 и, следовательно, F(x) остается положительным в окрестности хо. Но (х — X0)2*-1 меняет знак с минуса на плюс, когда х проходит через хо. Следовательно, то же самое будет и для произведения (х — X0)2^1F(X) = f(x)f'(x).
Далее будем считать, что полином f не имеет кратных корней и, следовательно, взаимно прост со своей производной.
За полином /і(х) ряда Штурма примем производную полинома l(x) = /о(х)' Затем применим к полиномам f0(x) и Z1 (х) алгорифм
228
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
ГГЛ. IX
Евклида, меняя на каждом шагу знак остатка на обратный. Полученные последовательные остатки примем за полиномы /2, /з,...
fk. В силу взаимной простоты /0 и /і последний полином fk?=0 есть константа. Таким образом, эти полиномы связаны соотношениями
/о = /і?і —/г, fi = /г&2 — /з>
fk-2 = fk-[§k-r — fk-
Проверим, что построенные полиномы удовлетворяют всем требованиям ряда Штурма. Последний полином не обращается в нуль, так как он есть отличная от нуля константа. Из соотношения fi-i(x) = fi(x)q(x) — fi+\{x) следует, что если /,¦_!(лг0) =/,• (x0) = О, то и /«¦+i (ха) = 0, но тогда и /,+2(х0) = 0 и т. д., наконец- }к{х0) = О, что невозможно. Итак, два соседних полинома ряда одновременно в 0 не обращаются. Далее, если /,(л:о) = 0, то fi~\ (х0) =—/1+1(л;о), так что они имеют противоположные знаки. Итак, три первых требования ряда Штурма выполнены.
Заметим, что они были бы выполнены, если в качестве /і(х) взять любой полином, взаимно простой с f(x) = fo(x).
Наконец, четвертое требование выполнено при /і(х) = /'(х) в силу доказанного предложения.
Заметим еще, что свойства ряда Штурма сохраняются, если полиномы умножить на любые положительные константы. Это замечание полезно при решении примеров.
Пример 1./(х) = х3 — Ix — 7.
Возьмем /1 (х) = f'(x) = Ъх2 — 7. При делении 3/(х) на fi(x) в остатке получим —14х — 21, так что в качестве /2 можно взять 2x-j-3. При делении 4fi (х) = 12.V2 — 28 на /2 получим в остатке —1, так что /з = 1. Таблица распределения знаков
/0
fi
H
— OO
—
+
—
+
— 2
—
+
—
+
- 1
—
—
+
+
О
—
—
+
+
-j- 00
+
+
+
+
показывает, что имеется один положительный корень и два отрицательных в интервале (—2, —1). Для уточнения расположения корней вычислим /(—3/2) = 1/8 > 0, так что мы можем заключить, уже не обращаясь к ряду Штурма, что корни лежат по одному в интервалах (—2*, —3/2) и (—3/2, —1). Для уточнения положения положительного корня заметим, что /(3)=—1 < О, Д4) = 29>0, следовательно, корень лежит в интервале (3, 4).
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ШТУРМА
229
Пример 2. /(я) = 1+-1+-21+ ... +il.
Здесь мы несколько отступим от описанного выше приема построения ряда Штурма. Полином f(x) не имеет положительных корней, так что все его вещественные корни, если они есть, лежат в интервале (—М, —б), где M достаточно большое и б достаточно малое положительные числа. Именно для этого интервала^мы будем строить полиномы Штурма. Имеем Y (х) = 1 +-у + "ff + • • • хп~\ / хп\
