Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 93

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 168 >> Следующая


3. Умножение подмножеств группы. Пусть G — группа, А и В— два подмножества ее элементов. Произведением AB этих подмножеств называется множество произведений ab, где а <= А, бей. Ясно, что имеет место свойство ассоциативности (AB)C = A(BC), ибо оба эти произведения составлены из элементов abc = (ab) с = = а (be), аєД fte?.ceC. Если одно из подмножеств состоит из одного элемента, например B= {&}, то произведение AB обозначается Ab, т. е. в этом контексте нет необходимости отличать элемент от составленного из него одноэлементного множества.

Введем еще одно обозначение. Через Л-1 обозначим множество всех элементов, обратных к элементам множества А. Заметим, что А-1 отнюдь не является обратным к Л в смысле умножения подмножеств группы.

4. Подгруппы. Подмножество H элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в G. Из этого определения следует, что если а, Ь є Я, то ab єЯ. Ясно, далее, что единица H является единицей G, ибо если еа = а, е, а є //, то е = аа-1 = 1 є С. Таким образом, единица группы G принадлежит любой ее подгруппе. Ясно также, в силу единственности обратного элемента в группе, что обратный элемент для любого элемента подгруппы будет для него обратным и. во всей группе.

ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ

245

Предложение 5. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами а, Ь их произведение ab и вместе с каждым элементом а его обратный а~\ то H есть подгруппа G.

Действительно, надо лишь показать, что H обладает единицей. Но единица G равна аа~1 при а є H и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения.

5. Классы смежности. Множество На, где H — подгруппа группы G и а — некоторый элемент из G, называется левым классом смежности группы G по подгруппе Н. Между элементами подгруппы H и элементами левого класса смежности На имеется естественное взаимно однозначное соответствие z>—>га = и, и*—^ \—>ua~x = z. Если подгруппа H конечна, то число элементов в каждом левом классе смежности равно порядку Н.

Предложение 6. Два левых класса смежности группы G по подгруппе H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Доказательство. Нужно установить, что если два левых класса смежности имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть X^ На и X є Hb. Рассмотрим класс смежности Hx. Так как іє є На, то X = za при некотором z є H и Hx = Hza а На. Но a = z~lx, так что Ha = Hz-1XCiHx. Следовательно, Ha = Hx. Аналогично, Hb = Hx, так что На = Hb, что и требовалось доказать.

Попутно выяснилось полезное свойство: На = Hx при любом X є На, т. е. в качестве элемента, порождающего как правый множитель класс смежности, можно взять любой элемент из этого класса.

Теорема 7. Группа является дизъюнктным объединением левых классов смежности по подгруппе.

(Дизъюнктное объединение — это объединение множеств, попарно не имеющих общих элементов.)

Справедливость теоремы непосредственно следует из предложения 6, ибо любой элемент группы а принадлежит некоторому классу смежности, именно, На, а различные классы не имеют общих элементов.

Указанное в теореме разбиение группы называется разложением группы по подгруппе.

Если число левых классов смежности в разложении G по Я конечно, то это число называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается (G : H). Разумеется, если группа G конечна, то индекс любой ее подгруппы конечен.

Предложение 8. Пусть G ~=> H zd К, причем H и К— подгруппы в G. Если HeG имеет конечный индекс и К в H имеет конечный индекс, то К в G имеет конечный индекс и

(G :K) = (G: H) (H : К).

246

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

1гл. X

Доказательство. Пусть G = [} Ha^ J=I1 2,..., h, и Я = (J Kb j, j = 1, ?,— разложения G по H и H по К. Тогда G = \jKbjai. Нужно показать, что классы смежности Kb^a1 попарно не имеют общих элементов. Если Kbhah и Kb1U1 содержат общий элемент, то Ha^ и Яа(.з содержат общий элемент, ибо /Сік и Kb/г содержатся в Я. Следовательно, ii = i2. Но тогда KbJ1 = KbJ3, что возможно только при /i = j2. Итак, G есть дизъюнктное объединение классов смежности Kbjui. Их число равно hk = (G : H)(H: К), т. е. (G : К) = (G : Я) (H : К).

Если подгруппа состоит только из одного единичного элемента, то классами смежности являются одноэлементные множества из элементов группы, так что индекс (G : 1) равен порядку группы G.

Полагая K=[I} в предложении 8, получим (G:!) = = (G : H) (H : 1). Это означает, что порядок конечной группы G делится на порядок ее подгруппы Я и частное от их деления равно (G : Я), т. е. индексу Я в G. (Эту важную теорему легко доказать непосредственно, без ссылки на предложение 8, прямо из разложения группы по подгруппе и того, что число элементов в любом классе смежности одинаково и равно порядку подгруппы.)

Наряду с левыми классами смежности можно рассматривать правые классы смежности аН, и для них тоже справедлива теорема о разложении группы по подгруппе. Между левыми и правыми классами смежности имеется естественное взаимно однозначное соответствие. Именно, отображение а>—есть взаимно однозначное отображение группы на себя и это отображение переводит левые классы смежности в правые. Действительно, левый класс На состоит из элементов га при z <= H и обратные элементы flHz-1 заполняют правый класс смежности а_1Я. Поэтому если для группы Я имеется конечное число левых классов смежности, то столько же будет и правых, так что определение индекса подгруппы при помощи левых или правых классов смежности дает одно и то же.
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed