Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Прежде всего убедимся в том, что к полиномам /i (z) и f(z) можно применить принцип аргумента. Из
неравенств |/i(z) I > |/2(z) I и |/(z) | ^ |/,(z) |-|f2(z) | > 0, спра-
значения, лежащие внутри круга с центром в точке 1 и с единичным радиусом, так что все они находятся в правой полуплоскости.
Aargf(z) = Aargf,(z).
Согласно принципу аргумента, число корней полиномов /i(z) и /(z) внутри области одинаково, что и требовалось доказать.
4. Непрерывность корней полинома. Пусть дан полином fo{z). Покажем, что его корни меняются непрерывно при изменении коэффициентов. Именно, при достаточно малом изменении коэффициентов корни меняются сколь угодно мало, но только кратные корни могут распадаться, превращаясь в совокупность корней в количестве (с учетом кратностей), равном кратности исходного корня.
Действительно, пусть Z0 — корень кратности k для полинома fo(z) и пусть f(z) = f0(z) + g(z)~полином, полученный из /о{г) малым изменением его коэффициентов. Окружим корень Zo сколь угодно малой ^ркружностью, причем настолько малой, чтобы в ограниченном ею круге не было корней полинома fo{z), кроме zo. Пусть m = inf|/0(z)| при z, меняющемся на окружности. Так как функция |/(z)| непрерывна и не обращается на окружности в нуль, m > 0. Возьмем коэффициенты полинома g(z) столь малыми, что на окружности \g(z) | <С т. Тогда на этой окружности выполнено условие теоремы Руше, и полином f(z) имеет столько же корней внутри круга (с учетом кратностей), сколько их имеет
f0(2), Т. Є. k.
В частности, простой корень при малом изменении коэффициентов немного перемещается, оставаясь простым. Если коэффи-
Вектор, исходящий из 0 в точку 1 +
h (г)
не может повернуться
вокруг начала, так что
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
223
циенты зависят от вещественного параметра г, являясь не только непрерывными, но и дифференцируемыми функциями, то простые
корни имеют производные по t, именно, = —-г-— • -^2-
dt f0 (Z1,) dt
В точках, где эта производная отлична от нуля, корень перемещается по гладкой кривой. Картина усложняется, когда корни «сталкиваются», превращаясь при некотором значении t в кратный корень. Рассмотрим простой пример. Пусть f(z)=z2—2z+ + t при 0 ^ t 2. При t = 0 корни равны
О и 2. Далее, Zi, 2 = 1 ± д/l — При изменении г от 0 до 1 корни сближаются и, при 1=1, сливаются при значении Z=I (рис. 14). При дальнейшем увеличении t корни становятся комплексными
и расходятся вдоль прямой Rez = 1. У нас нет никаких оснований считать, который из корней пошел вверх: тот, который пришел слева, или тот, который пришел справа. Корни после столкновения как бы теряют индивидуальность.
Vi-I
Рис. 14.
§ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами
1. Ограничение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами. Лемма о возрастании модуля (§ 1) дает Средство для ограничения всех корней по модулю сверху. Именно, ;сли для M = O найти такое R, что |/(z)|>M = 0, как только z|> R, то, очевидно, за пределами круга радиуса R полином і (z) не имеет корней, и поэтому все его корни не превосходят R По модулю.
Для вещественных корней полиномов с вещественными коэффициентами можно указать другие оценки, которые иногда оказываются лучше. Приведем одну из них.
Теорема (оценка Маклорена). Пусть f(x) =auxnJra\Xn~{-\- ... ... +а„єК[х], причем ctQ > 0. Если f(x) не имеет отрицательных коэффициентов, то отсутствуют положительные корни, так что верхней оценкой для вещественных корней оказывается число 0. Пусть отрицательные коэффициенты имеются, m — номер первого по порядку отрицательного коэффициента и А— максимум модулей отрицательных коэффициентов. Тогда вещественные корни
m _
f(x) не превосходят 1 + л/-§-ш
V "о
Доказательство. Пусть все коэффициенты неотрицательны и X > 0. Тогда f{x)> 0, так что f(x) не имеет положительных корней. Пусть теперь отрицательные коэффициенты есть И X
224
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
{гл. ix
>1+л/— • Имеем:/(я) =00*"+ ai*n_1 + ••• + am_1xn~m+i +.., V ао -
...+ ап. Подчеркнутые слагаемые, если они есть, неотрицательны при Jf > O1 и потому
/ (дс) ^ аохп + атхп~т + ... + ап. При k ISs т будет ak ^ —А, следовательно,
f(x)^ta0xn — А (хп~ "*+ ... + 1) = а0хга — А
^n - т-\-\ j
«"l^1 (a0^m~! (X-X)-A) А
JC — 1 1X-I
/-"+'(^-'(х-П-Л) jc"-ffl+1(ao(Jc -іГ-Л)
X — 1 X — 1
m _
m _
Итак, при х^1 + д/— будет /(х)>0, так что все вещест-
V 0O
т
венные корни не превосходят 1 -+- л/~а~' что и требовалось доказать.
При помощи оценки корней сверху легко получить и оценку снизу. Для этого достаточно рассмотреть полином
g (X) = {—I) nf(-xY= а0х" — а ,X"-1 + a2x"-2 + ... + (-1) пап.
Корни этого полинома равны корням полинома / с обратным знаком, так что из оценки корней его сверху, —Xi <. М, получим оценку снизу для корней исходного полинома: Xt > —М.
Пример. Найти оценки сверху и снизу для корней полинома
f(x) = х5 + Зх3 — 4х2 — 2х + 4. Сверху: je, < 1 + $4 < 3.
