Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
значения, то (у'4-2р) может иметь любой знак и, следовательно, функция E знака не сохраняет — условия, достаточные для достижения сильного мини-
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это условие можно заменить условием Якоби.
3. Функция E (х, у, р, у') не меняет знака во всех точках (х, у), близких- к кривой С, и для близких к р(х, у) значений у'. В случае минимума E 0, в случае максимума /5^0.
Для сильного экстремума:
1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям.
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это условие можно заменить условием Якоби.
3. Функция Е(х, у, р, у') не меняет знака во всех точках (х, у), близких к кривой С и для произвольных значений у'. В случае минимума E^z-0, в случае максимума E ^.0.
Замечание. Можно доказать, что условие Вейерштрасса необходимо. Точнее, если в центральном поле, включающем экстремаль С,
в точках экстремали для некоторых у' функция E имеет противоположные знаки, то сильный экстремум не достигается. Если это свойство имеет место при сколь угодно близких к р значениях у', то не достигается и слабый экстремум.
Пример 1. Исследовать на экстремум функционал
ФУНКЦИЯ Е(х, у, р, (Ґ)
361
мума, не выполнены. Если принять во внимание замечание на стр. 360, то можно утверждать, что сильный минимум на прямой у = —¦ х не достигается. Пример 2. Исследовать на экстремум функционал
а
J (бу'2 — у'4 + уу') dx; у (0) = 0; у (а) = Ъ; а > 0 и Ъ > 0
о
в классе непрерывных функций с непрерывной первой производной.
Экстремалями являются прямые у = CxX + C2- Граничным условиям удо-Ь
влетворяет прямая у = — х, которая включается в пучок экстремалей у = Схх, образующих центральное поле. Функция
E (х, у. р, у') = бу'2 - у'4 + УУ' - 6р2 + p4 - ур - Су'—р) (12р-4р3 + у) =
= - (у' - p)2 (у'2 + 2ру' - (6 - Зр2)].
Знак функции E противоположен знаку последнего множителя
у'2 + 2/>у'-(6-Зр2).
Этот множитель обращается в нуль и может изменить знак лишь при переходе у' через значение у'= — р ± У~6 — 2р2. При 6 — 2р2<0 или р>]/~3 при любом у' имеем [у'2 + 2/>у' — (6 — 3р2)]>0, если же 6 — 2р2 > 0 или
/><]^3, то выражение [у'2 + 2/>у' — — (6 — Зр2)] меняет знак. Если же при этом у' достаточно мало отличается от р, то последнее выражение сохраняет положительный знак при р > 1 и отрицательный знак при р < 1.
Следовательно, при р = — < 1 или
Ь < а имеем слабый минимум, так как E > 0 при значениях у', близких к р; при
р = — > 1 или і > а имеем слабый макси-
Рис. 8.11.
мум. При р = — ^ у~3 имеем сильный максимум, так как E <; 0 при любых значениях І,
у'. При P = —<УЗ, на основании заме-а
чания на стр. 360, нет ни сильного минимума, ни сильного максимума (рис. 8.11).
Даже в приведенных выше весьма простых примерах исследование знака функции E было сопряжено с некоторыми затруднениями, и поэтому желательно условие сохранения знака функцией E заменить более легко проверяемым условием. Предположим, что функция F(x, у, у') трижды дифференцируема по аргументу у'. По формуле
24 Л, Э. Эльсгольц
362 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [ГЛ. 8
*) Условие Fy,, > 0 (или Fyy, < 0) часто называют усиленным уело-вием Лежандра, а условием Лежандра называют неравенство Fyy, ;>0 (или Fyy <0).
Тейлора получим F(x, у, у') =
= F(x, у, p)+(y' — p)Fp(x. у, р)-\- (У'йРУ Fyу (X, у, а).
где q заключено между р и у'. Функция
Е(х, у, р, у') = F(x, у, у') —F(x, у, P)-(^-P)Fp(X, у, р)
после замены функции F(x, у, у') ее разложением по формуле Тейлора примет вид
Е(х, у, р, у') = (У ~p)i Fyу (х, у, q).
Отсюда видно, что функция E сохраняет знак, если сохраняет знак Fyy (х, у, q). При исследовании на слабый экстремум функция Pу'У (х, у, q) должна сохранять знак для значений х и у в точках, близких к точкам исследуемой экстремали, и для значений q, близких к р. Если Fyy (х, у, у')фО в точках экстремали С, то в силу непрерывности эта вторая производная сохраняет знак и в точках, близких к кривой С, и для значений у', близких к значениям у' на кривой С. Таким образом, при исследовании на слабый минимум условие E 0 может быть заменено условием Fyy > 0 на экстремали С, а при исследовании на слабый максимум условие E ^ 0 может быть заменено условием Fy'y < 0 на кривой С, Условие Fyy > О (или Fyy' < 0) носит название условия Лежандра *).
При исследовании на сильный минимум условие E^-O может быть заменено требованием Fyy' (х, у, q)^-0 в точках (х, у), близких к точкам кривой С при произвольных значениях q. При этом, конечно, предполагается, что разложение по формуле Тейлора
F(x, у, у') =
= F(x, у, p) + {y'-p)Fp(x, у, р)-\- (у'-рУ Fyy (х, у, а)
справедливо при любых у'. При исследовании на сильный максимум получим условие Fyy- (х, у, q) О, при тех же предположениях относительно области изменения аргументов и разложимости функции F (х, у, у') по формуле Тейлора.
Сводка достаточных условий минимума простейшего функционала *)
X і
