Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос об исследовании на экстремум функционала
Xi
V = f F(x, yv у2.....уп, у\, у'2.....у'п)
dx;
У) (X0) = уj0. У) (X1) = уJi С/=1. 2.....«)
при наличии конечных связей
о?і(х, Уї, у2.....Уп) = 0 (1=1, 2.....т). (9.2)
Предположим теперь, что уравнения связей являются дифференциальными уравнениями
<Pi{x, yv У2.....Уп. Уу У'2.....^)==0 (і==ї' 2.....»)•
В механике связи такого вида называются неголономными, а связи вида (9.2) — голономными.
В этом случае также можно доказать правило множителей, заключающееся в том, что условный экстремум функционала v достигается на тех же кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала
JT1 г т -] X1
«• = f F+ ^k(X)(P1 dx = fF*dx,
X, / = 1 J Xo
S 2] СВЯЗИ ВИДА <р(*. у,, V/'j-O 383
где
• ( = 1
Однако доказательство значительно усложняется по сравнению со случаем конечных связей.
Если же ограничиться доказательством более слабого утверждения о том, что кривые, на которых достигается условный экстремум функционала v, при соответствующем выборе X1 (х) являются экстремалями для функционала v*, то доказательство, проведенное в предыдущем параграфе, может быть с незначительными изменениями повторено и для рассматриваемого случая.
Действительно, предположим, что один из функциональных определителей порядка т отличен от нуля, например
* ?>(фі, <рг, фт)
это гарантирует независимость связей. Разрешая уравнение (х, ух, у2, .
у'\і Уъ •••> Ут< что возможно, так как
?>(ф,, ф2, .
Di?» У*
- У'т)
¦• Уw Уь У* Уп) =0 относительно
фт) ф а
Ут)
получим у\ = фг (х, уь у2.....у„, ут + „ у'т+2.....у'п) (1=1,2.....т). Если
считать ym+i, Ут+2.....Уп произвольно заданными функциями, то из этой
системы дифференциальных уравнений определяются у,, у2, .... ут- Таким
образом, ут+1, Ут+2.....Уп являются произвольными дифференцируемыми
функциями с фиксированными граничными значениями и, следовательно, их вариации в том же смысле произвольны.
Пусть У), у2, уп — произвольная, удовлетворяющая уравнениям связей ф( = 0 (i = 1, 2.....т), допустимая система функций. Варьируем уравнения связей
/=1 /=1 >}
Умножаем почленно каждое из полученных уравнений на пока не определенный множитель X1 (х) и интегрируем в пределах от X0 до X1; тогда получим
х\ п , Xl
f M*)2SW jh(x) ^^У)ах = 0;
- / = 1 ' xa / = 1 У)
*) И здесь, как и на стр. 379, следовало бы в левые части уравнений включить слагаемые, содержащие члены порядка выше первого относительно
буу и by'j (/=1, 2.....и), причем учесть влияние этих нелинейных членов
здесь уже значительно труднее.
384 вариационные задачи на условный экстремум [гл. 9
Из основного необходимого условия экстремума бг; = О получим
Xl п
У
так как
лсЛ;)б^*-а <9-4>
Сложив почленно все уравнения (9.3) и уравнение (9.4) и вводя обозначение
га
F* = /7+ 2 ^iW Ф*> будем иметь
X0 J = I \ //
Так как вариации буу (У = 1, 2.....и) не произвольны, то пока нельзя применять основной леммы. Выберем т множителей i\\(x), K2(X), .... Кт (х) так, чтобы они удовлетворяли уравнениям
ViK;-0 (У==1,2.....и)'
Если написать эти уравнения в развернутом виде, то они представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно
M*) и М± (/ = 1, 2.....т),
которая при сделанных предположениях имеет решение K1 (X), K2 {х), ...
1K1n(X), зависящее от т произвольных постоянных. При таком выборе K1(X), К2(х), .... Кт(х) уравнение (9.5) приводится к виду
X0 j = m+l v }l
где вариации буу (j= m-f-l, т-\-2, гі) уже произвольны, и следовательно, полагая все вариации бу; =0, кроме какой-нибудь одной byj, и применяя основную лемму, получим
F*-J-F*,=*0 (/=771+1, m-t-2, .... я).
интегрируя каждое слагаемое второго интеграла по частям и принимая во внимание, что буу = (буу)' и (&У j)x_x = (^У J)x^x = ^ бУДем иметь
Г Лгп, /У / Аег\. \
6yjdx = 0. (9.3)
S 3] ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 383
сохраняет постоянное значение:
Л _
j Vx2 + 'y2dt = l.
Таким образом, мы имеем здесь вариационную задачу на условный
л _
экстремум со своеобразным условием: интеграл j Vx2 -f- у2 dt со-
храняет постоянное значение.
*) Хотя решение этой задачи было известно еще в древней Греции, однако ее своеобразный вариационный характер был осознан лишь в конце XVII века.
Таким образом, функции уь(х), у2(х).....уп(х). реализующие условный
экстремум функционала v, и множители X1(x), X1 (х), .... Хт(х) должны удовлетворять системе п-\-т уравнений:
flj-4x-Fl-° с/-1-2.....п)
Фг = 0 (l = l, 2.....т), .
т. е. должны удовлетворять уравнениям Эйлера вспомогательного функционала V*, который рассматривается как функционал, зависящий от п-{-т функций
Уи Уг, •••> Уф at> 1X2, Хт. § 3. Изопериметрические задачи
Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
