Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
і
.У
0
Xq X Xf
Рис. 8.7.
Из условия прохождения экстремалей через точку (0, 0) получаем C1 = 0, у = C2 sin х, причем кривые этого пучка на отрезке 0 < х < а. а < я образуют центральное поле, включающее при C2 = O экстремаль у = 0. Параметр семейства C2 равен производной у'х в точке (0, 0). Если в той же задаче а ,> я, то семейство у = C2 sin х поля не образует (см. стр. 352)
Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства F(x, у, C) = O пересекаются в точках С-дискриминантной кривой, определяемой уравнениями
t)F
F(x, у, C) = O; U=O.
Напомним, что в состав С-дискриминантной кривой, в частности, входит огибающая семейства и геометрические места кратных точек кривых семейства. Если F(x, у, C) = O является уравнением пучка кривых, то центр пучка также принадлежит С-дискриминантной кривой. Поэтому если взять пучок экстремалей у = у(х. С), проходящих через точку (х0, у0), и определить его С-дискриминантную кривую Ф(х,' у) = 0, то близкие кривые семейства y = y(x, С) будут пересекаться вблизи кривой Ф(х, у) = 0 и, в частности, кривые этого семейства, близкие к рассматриваемой экстремали у = у(х), проходящей через точки А (х0, у0) и B(X1, yj), будут пересекаться
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
355
в точках, близких к точкам касания (или пересечения) кривой у = у(х) с С-дискриминантной кривой (см. рис. 8.7, на котором С-дискриминантная кривая изображена жирной линией). Если дуга AB экстремали у = у(х) не имеет отличных от точки А общих точек с С-дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге AB экстремали пучка не
:У
"tos
В(х
„Уі)
0
X0 X1 і
Рис. 8.8.
пересекаются, т. е. образуют в окрестности дуги AB центральное поле, включающее эту дугу (рис. 8.8).
Если дуга AB экстремали у = у (х) имеет отличную от А общую точку А" с С-дискриминантной кривой пучка у = у (х, С), то близкие к у = у(х) кривые пучка могут пересекаться между собой и с кривой у = у(х) вблизи точки А* и, вообще говоря, поля не образуют (рис. 8.7). Точка А* называется точкой, сопряженной с точкой А.
Полученный результат можно сформулировать так: для построения центрального поля экстремалей с центром в точке А, содержащего дугу экстремали AB, достаточно, чтобы точка А*, сопряженная с точкой А, не лежала на дуге AB. Это условие возможности построения поля экстремалей, включающего данную экстремаль, носит название условия Якоби.
Нетрудно сформулировать это условие и аналитически. Пусть у = у(х, С) — уравнение пучка экстремалей с центром в точке Л, причем параметр С можно для определенности считать совпадающим с угловым коэффициентом у' экстремалей пучка в точке А. С-дискриминантная кривая определяется уравнениями
у = у(х,С); ^^ = 0.
Вдоль каждой фиксированной кривой семейства производная ^ ^ ^ является функцией только х. Эту функцию кратко обозначим буквой и:
356 . ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ГГЛ. 8
ду (х, С) „ , д'у (х, С)
и== —'-, где С задано; отсюда Ux =—Ar Функции
у = у (х, С) являются решениями уравнения Эйлера, поэтому
Fv(x, у (je. С), у'х(х. С))— -Jx- Fy, (х, у(х, С), у'х(х, С) )==0.
п j.^ ^ ду (х, С)
Дифференцируя это тождество по С и полагая ^— = и< получим
Fyyit + Fyyu' - -^(Fyy и + Fyyu')=Q
или
(Fyy-^Fyy)u-^(Fryu') = 0.
Здесь Fyy (х, у, у'), Fyy (х, у, у'), Fyy (х, у, у') являются известными функциями х, так как второй аргумент у равен решению уравнения Эйлера у = у(х, С), взятому при значении C = C0, соответствующем экстремали AB. Это линейное однородное уравнение второго порядка относительно и называется уравнением Якоби.
„ ду (х. С) ,
Если решение этого уравнения и = —-, обращающееся
в нуль в центре пучка при х = X0 (центр пучка всегда принадлежит С-дискриминантной кривой), обращается в нуль еще в какой-нибудь точке интервала X0 < х < X1, то сопряженная с А точка, определяемая уравнениями
у = у(х, C0) и ду ^ С) = 0 или и = 0,
лежит на дуге экстремали AB*). Если же существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при х = х0 и более не обращающееся в нуль ни в одной точке отрезка х0 <1 х <^ X1, то точек, сопряженных с А, на дуге AB нет, —условие Якоби выполнено, и дугу экстремали AB можно включить в центральное поле экстремалей с центром в точке А.
Замечание. Можно доказать, что условие Якоби необходимо для достижения экстремума, т. е, для кривой AB, реализующей экстремум, сопряженная с А точка не может лежать в интервале х0< х< X1
Пример 2. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала а
v^-f (у'2 — У2) dx, проходящей через точки А (0, 0) и В (а, 0)?
і
*) Заметим, что все нетривиальные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющие условию и (х0) = 0, отличаются друг от друга лишь отличным от нуля постоянным множителем и, следовательно, обращаются в нуль одновременно.
§ 2) ФУНКЦИЯ Е(х, в. Р. ІҐ) 357
