Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
V [у (X)]= Г F(x, у, у') dx; у(ха) = уа, у(х,) = Уі
Слабый минимум
Сильный минимум
Слабый минимум
Сильный минимум
Слабый минимум
Сильный минимум
1 F__— P , =0
1-гУ dx У
\.р--— F ,=0
У dx У
\.Р--—F , =0
У dx У
l.F--—F , =0
у dx У
hFy-4x-pr=*
1. F--— F , =0
У dx У
2. Условие Якоби
2. Условие Якоби
2. Условие Якоби
2. Условие Якоби
2. Существует поле экстремалей, включающее данную экстремаль
2. Существует поле экстремалей, включающее данную экстремаль
3. Fy.y, > 0
3./уу,(х,у,у')>0
¦З.Е(х,у,р,у')>0
З.Е(х,у,р, у')>0
З.Е(х, у, р,у')>0
З.Е(х,у.р,у')>0
на исследуемой экстремали
для точек (х, у), близких к точкам на исследуемой экстремали и для произвольных значений у'. При этом предполагается, что функция F (х, у, у') трижды дифференцируема по у' для любых у'
для точек (х, у), близких к точкам на исследуемой экстремали, и для у', близких к р (х, у)
для точек (х, у), близких к точ- • кам на исследуемой экстремали, и для произвольных у'
для точек (х, у), близких к точкам на исследуемой экстремали, и для у', близких к р (х, у)
для точек (х, у), близких к точкам на исследуемой экстремали, и для произвольных у'
*) Для получения достаточных условий максимума в этой сводке надо взять знаки неравенства противоположного смысла.
364
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
[ГЛ. 8
Пример 3. Исследовать на экстремум функционал
а
w [У W]= I (у'2 — у2) dx, а>0; у (0) = 0, у(д) = 0.
о
Уравнение Эйлера имеет вид у" -f-y = 0, его общее решение у = Ci cosx-f--f- C2 sin х. Используя граничные условия, получаем C1 = 0 и C2 = 0, если а ф кя, где k — целое число.
Итак, при а Ф k-я экстремум может достигаться лишь на прямой у = 0. Если а < я, то пучок экстремалей у = C1 sin х с центром в точке (0, 0)
образует центральное поле. При а > я условие Якоби не выполнено (см. стр. 352).
Так как подынтегральная функция трижды дифференцируема по у' при любых у' и Fy, = 2 > 0 при любых значениях у', то на прямой у = 0 при
а < я реализуется сильный минимум. Если учесть замечание на стр. 356, то можно утверждать, что при а > я минимум на прямой у = 0 не достигается.
Пример 4. Исследовать на экстремум функционал
(см. задачу о брахистохроне, стр. 304). Экстремалями являются циклоиды
X= C1 (г — sin/) 4- C2, у = C1 (1 — cos t).
Пучок циклоид X = C1 (t — sin t), у = C1 (1 — cos t) с центром в точке (0, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль
x=a(t — sin/). У —0¦(X—cos/),
где а определено из условия прохождения циклоиды через вторую граничную" точку B(X1, у,), если X1 < 2яа (рис. 8.12).
О
Рис. 8.12.
Имеем
У
F , ,
у'у
>0
Vy V^ + У
/2
Vy а+/2)'
§ 2] функция Е(х. у. р. у") 365
при любых у'. Следовательно, при X1 < 2па на циклоиде
x = a(t — sin г), у = а (1 — cos t)
реализуется сильный минимум.
Пример 5. Исследовать на экстремум функционал
а
V [у (х)] = J у'3 ах; у (0) = 0, у (а) = Ь, а > 0, b > 0.
о
Этот пример был решен на стр. 360, но теперь в отношении слабого экстремума исследование можно упростить.
Экстремалями являются прямые линии. Пучок у = Cx образует централь-
b „ b
ное поле, включающее экстремаль у = — х. па экстремали у = —¦ х вторая
X
Рис. 8.13.
производная Fy,y, = %у' = &— > 0. Следовательно, прямая, У — ~х реализует слабый минимум. При произвольных у' вторая производная Fyy = бу' знака не сохраняет; следовательно, указанные выше достаточные условия для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюда еще нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается. Пример 6. Исследовать на экстремум функционал а
v[y(x)]= -J- dx; у (0) = 1, у (а) = 6, а > 0, 0 < Ь < 1.
Первый интеграл уравнения Эйлера (см. случай 5 на стр. 302) имеет вид
извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем у = (C1x-j-C2)2— семейство парабол. Из условия у (0) = 1 находим C2 = 1. Пучок парабол у = (C1X + I)2 с центром в точке А (0, 1) имеет Срдискриминантную кривую у = 0 (рис. 8.13). Через точку В (а, Ь) проходят две параболы этого пучк?.
366
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
ГГЛ. S
На дуге AB одной из них (Li) лежит точка А*, сопряженная с точкой А, на другой же (L2) сопряженной точки нет, и следовательно, на дуге L2 условие Якоби выполнено и на этой дуге параболы может реализоваться
экстремум. В окрестности исследуемой экстремали Fyly. = ¦—r- > 0 для про-
у'
извольных у', однако на этом основании нельзя утверждать, что на дуге L2 реализуется сильный минимум, так как функция F (х, у, у') = —^- не может быть представлена в виде F (х, у, у') = F (х, у, р) + (у' - р) Fp (х, у, р) + (У'~РУ> Fry. (х, у, q)
при произвольных значениях у' ввиду наличия разрыва функции F (х, у, у') при у' = 0. Можно лишь утверждать, что на L2 реализуется слабый минимум, так как для значений у', близких к наклону поля на кривой L2, такое разложение функции F (х, у, у') по формуле Тейлора имеет место. Для полного исследования этого функционала на экстремум необходимо рассмотреть функцию Е(х, у, р, у'):
