Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Е(х, у, р, У')= Дг--Т + НГ(У''
у' р2 ¦ р3
¦Р):
у (y'-P)2 (2у' + р) У'2Р3
Так как множитель (2у' -f- р) не сохраняет знака при произвольных у', то на основании замечания на стр. 360 можно утверждать, что сильный минимум на дуге L2 не достигается.
Изложенная теория без значительных изменений переносится и на функционалы вида
г'
«[У V У 2.....У „I= J F(x' Уь У*.....Уп' У V У» y'n)dx'<
> Уп. Уь У2> (1=1,2,...
Уі (хо) = Уiff Уі(хі) = Уп С =1.2.....л).
Функция E принимает вид
E=F(x, Уі, у2.....уп, у[, Уз.....у'п) —F(X, Уі. У2.....У„. Pv P2- ••
П
- S (у«-pi)^V*. у г уу •••• уя- pr p2'
pn)-•• р«)>
где — функции наклона поля, на которое наложены некоторые ограничения (при этих ограничениях поле называется специальным).
Условие Лежандра Fy,y, >0 заменяется следующими условиями:
F , . >0, У\У\
Kl
У2Уі
F , ,
у,у2
F , ,
4*2
>0,
F ,
F , , У\Ч
F F у'2у[ у2у2
F F Vi vj '
У\УП
F , , У2Уп
vn
>0.
5 21 ФУНКЦИЯ Е(х, у. р. у-) gg7
Достаточные условия слабого минимума как в простейшей задаче, так и в более сложных, можно получить иным методом, основанным на изучении знака второй вариации.
По формуле Тейлора преобразуем приращение функционала в простейшей задаче к следующему виду:
X1
Av = j [F(x, y + oy, y'4-бу') — F(x, у, y')]dx =
X,
= j (Fy6y + Fy.6y')dx + ±f [Fyyby* + 2Fyy,byby' + Fy,y бу'2] dx+R,
Xa Xq
где R имеет порядок выше второго относительно бу и бу'. При исследовании на слабый экстремум бу и бу' достаточно малы, и в этом случае знак приращения Af определяется знаком члена, стоящего в правой части и содержащего наиболее низкие степени бу и бу'. На экстремали первая вариация
Xi
f (Fyby + Fy,by')dx = 0
Xa
и, следовательно, знак приращения Av, вообще говоря, совпадает со знаком второй вариации
Xi
b*v = f (Fyy бу2 + 2Fyy, oy by' 4- Fy,y, бу'2) dx.
Xa
Условие Лежандра в соединении с условием Якоби и являются условиями, обеспечивающими поствянство знака второй вариации, а вместе с тем и постоянство знака приращения Av в задаче о слабом экстремуме. Действительно, рассмотрим интеграл
Xi
j [©' (X) бу2 + 2© (х) by by'] dx, (8.2)
Xi
где <в(х)— произвольная дифференцируемая функция. Этот интеграл равен нулю:
Af1 Xi
j [a' (X) бу2 + 2(0 (х) бу бу'] dx = J d(<a by2) dx = [<в (x) 6y2]? = 0
Xa Xi
(так как бу \Хй = by \х% = 0).
Прибавляя интеграл (8.2) ко второй вариации, получим
X1
O2K = f [(Fуу + о') бу2 4- 2 (Fуу, + о) бу бу' + Fyy, бу'2] dx.
X0
Выбираем функцию <в(х) так, чтобы подынтегральная функция, с точностью до множителя, превратилась в точный квадрат, для чего функция со(х) должна удовлетворять уравнению
PyУ (fyy + «>')-(Fyy+«>У=0-
368 достаточные условия экстремума [гл. 8
При такой выборе функции <в вторая вариация принимает вил
Xi
64/= f Fyly (by'A- Fy>'+a Oy)J* dx
XT}
и, следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком Fy, у„
Однако такое преобразование возможно лишь в предположении, что дифференциальное уравнение
+^y)-(V+»)2 = 0
имеет на отрезке (ха, Jc1) дифференцируемое решение <в(х).
Преобразовав это уравнение к новым переменным подстановкой
ш=--РУЇ-РУ'У— •
где и — новая неизвестная функция, получим
— уравнение Якоби (см. стр. 356).
Если существует не обращающееся в нуль при ха < х Jt1 решение этого уравнения, т. е. выполнено условие Якоби, то существует для тех же значений X непрерывное и дифференцируемое решение
<o(x) = -Fyy-Fyly, ІІ-
уравнения
^y'У Vyy + 0O-(V +ffl)2= °-
Итак, условие Лежандра и условие Якоби гарантируют сохранение знака второй вариации и, следовательно, являются достаточными условиями для слабого минимума (Fy,y, > O) или максимума (Fy,y, < 0).
3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
Систему я уравнений Эйлера (см. стр. 305)
можно заменить системой 2га уравнений первого порядка. Полагая в (8.3)
F =q (A = I1 2.....га). (8.4)
yR *
получим
dqh aF ., . „
$81 преобразование уравнении эйлера 369
Разрешаем систему уравнений (8.4) относительно у'к (для возможности такого разрешения предположим, что
фО),
где
D(F ',.F'.....F ' \
D(y\, у'2, .... у'п)
у'к = %(х, ys, qs),
«*(•*• 3V as) = ak(x, Уі, у2.....у„, <7,, q2.....q„).
(8.6)
и подставляем (8.6) в (8.5,). ,При этом получим систему In уравнений первого порядка в нормальной форме:
dx dqk
= (ak(x, ys. qs),
dx
(8.7)
Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают, что в скобках вместо у'к подставлены a>k(x, ys, qs}. С помощью функции
п
H (х, ys, qs) = 2 «Wf — [F)
система (8.7) может быть записана в каноническом виде:
(A = I. 2.....я).
dy±_ дН
dx dx
дН
(8.8)
Заметим, что если функция F(yy У2..... Уп> У[, У2.....у'п)
не зависит явно от х, то система (8.8) имеет первый интеграл H = C Действительно, в этом случае
H=Z^q1-[F)
также не содержит х явно и, следовательно,
