Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
в задаче
С ( С \
ждению экстремума функционала I F dx\ или I F dx \
X, \ X, J
с закрепленными граничными точками. Поэтому, вычисляя вариацию функционала, будем уже считать, что функционал рассматривается лишь на экстремалях, имеющих угловую точку С. Тогда
х,
bj F(X, у, y')dx = lF + (<f' -Z)Fy]x^bX1
340 и
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
ггл. 7
б/F(X1 у, y')flx= — [/' + («р7—
JTi+0
од;,
(см. стр. 331), где знаки X = X1—0 и X = JC1-I-O означают, что берется предельное значение величины, стоящей в скобках пр і приближении к точке X1 в первом случае слева (со стороны значений х, меньших X1) и во втором случае справа (со стороны значений х, больших X1). Так как в точке отражения разрывна лишь производная у', то в первом случае надо взять в угловой точке левую производную, а во втором случае — правую производную. Условие bv = 0 принимает вид
[F + (Ф7 - У) Fy]XaXl„0 6xi —If+ (ф' - У) ^1U11+0 Sx1 = 0 или, так как Ox1 изменяется произвольно, то
[F + (Ф' - у') /VU„_o =1'7 + (Ф' - У')Fr\x=xl+v
или
F(X1, Уі, у' (X1 — 0)) 4- (ф' (X1) — — У(X1 -O))Fy(X1, у,, У(X1 -O) = F(X1, Уі, /(Of1+ 0)) + + (ф' (X1) — у' (X1 + 0)) Fy (X1. Уі. у' (X1 +0)).
Это условие отражения приобретает особенно простой вид для функционалов типа
V= f А(х, у) VV+J'
dx,
а именно: A(X1, 3>j)
A(X1, Уі)
Vl+у'2 +
<q>'-/) У
Vi + У2
х=х,+0
или, упрощая и сокращая на A (X1, Уі) в предположении, что A (X1, yj Ф 0, получим
1 + ф'У'
Vi + .
1 + Ф'У
X=X1-O
Vi + :
х=х,+0
Обозначив угол между касательной к кривой у = ф(х) и осью абсцисс буквой а, а углы наклона к оси абсцисс левой и правой
§ зі
ЭКСТРЕМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
341
касательных к экстремали в точке отражения С. соответственно ?i и P2 (рис. 7.8), получим
у'(X1-O) = IgP1, у'(X1 4-0) = tgp2; <p'(*i) = tga.
Условие в точке отражения приобретает вид
І + tgq-tg?. == l + tgq.tg?2 — sec ?i sec ?2
или после упрощения и умножения на cos а:
— cos (а — P1) = cos (u — р2).
Отсюда следует равенство угла падения и угла отражения.
к"
Рис. 7.8.
Если точка движется в некоторой среде со скоростью v(x, у), то время t, затрачиваемое на перемещение точки из положения А (х0, у0) в положение ?(Xj, ух), равно интег-
ралу
Г'Vi+ у'2 J V (х у) К0Т°РЬ1И принад-
лежит к рассматриваемому виду функци-
х, _
оналов J А(х, y)V\ -\-у'2 dx, и сле-
0
Рис. 7.9.
довательно, при любом законе изменения скорости v(x, у) в точке отражения угол падения равен углу отражения.
Если бы точки А, В и С были расположены иначе, например так как они расположены на рис. 7.9, то для получения того же условия в точке отражения из-за двузначности функции у = у(х) удобнее было бы проводить исследование в параметрической форме.
23 Л- Э, Эльсгольц
342
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
ггл. 7
Преломление экстремалей. Предположим, что подынтег-ральная функция функционала v = JF(x, у, y')dx в рассматри-
Xa
ваемой области имеет линию разрыва у=ф(х), а граничные точки AnB расположены по разные стороны линии разрыва (рис. 7.10). Представим функционал v в виде
v = j F1(X, у, y')dx+ j F2(X, у, у')
dx.
где Fx(x, у, у') = F(x, у, у') с одной стороны линии разрыва, a F2(X, у, у')= F(x, у, у') с другой стороны линии разрыва.
Рис. 7.1 >
Предположим, что Fx и F2 трижды дифференцируемы. В точке С пересечения искомой кривой с линией разрыва естественно ожидать наличия угловой точки. Дуги AC и CB, очевидно, являются экстремалями (это опять следует из того, что, фиксируя одну из этих дуг и варьируя лишь другую, мы получим задачу с закрепленными граничными точками). Поэтому можно брать в качестве кривых сравнения лишь ломаные, состоящие из двух дуг экстремалей, и тогда вариация ввиду подвижности граничной точки С(хх, ух), перемещающейся по кривой у=ф(х), принимает следующий вид (см. стр. 331):
х\ X2
bv = b j Fx(X, у, y')dx-\-b J* F2(X, у, y')dx =
= IF1 + (ф' - у') Fir]x=x[_0 Ox1 - [F2 + (Ф' - у') / VW1+0 6*i>
и основное необходимое условие экстремума 6¦W = O сводится к равенству
[Fi + (ф' - /) 7V W.-o = 1Ъ + (Ф' - У') /VU,,+o-
S 3] экстремали с угловыми точками 343
j А(х, у) Vl 4- У'2 dx =
С)
= f A1 (х, у) Vl 4- у'2 dx Ar j A2 (Xi у) V 1 + У'2 dx.
то условие преломления приобретает вид
A1(X, у)л±*у
= А2(х, у) 1 + (р/у'
Vl-\-y'2 х=х,-0 ' Vl+"'2
х = х,+0
X=X1-O V 1 + У
или, сохраняя обозначения стр. 340—342, у' (X1 — 0) = tg?j, у'(х,4-0) =tg?2, ф' (X1) = ig а, после упрощений и умножения на cos а будем иметь:
cos (а-p.) ^ A2 (X1, у,) ияи 8'"[¦2—(«-Pi)] _ АЛХь у0
sin [у — («— ?s)]
cos (а— ?2) Л (X1. у,) ИЛИ ,"Г" я "„" ] Л, (X1, у,) *
что является обобщением известного закона преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равн< отношению скоростей
ui<x- у) = тегу7 и "2(х' у)= ллЬо (ср- стр' 341)
в средах, на границе которых происходит преломление.
