Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
* 'Л = Xt
X1
f (Fy Oy + Fy Oy')dx = [Fy бу] \ХшХі.
Заметим, что by\Xs не равно Oy1—приращению у1( так как Oy1 — эго приращение yj при перемещении граничной точки в положение
,У
X1 t,*Sit
Рис. 7.2.
IX14 бх,. Уі4"оуі). а оу\х_—это приращение ординаты в точке. X1 при переходе от экстремали, проходящей через точки (-*?' Уо) " Уі) к экстремали, проходящей через точки (х0, у0) и (X1 4 Ox1, у, f Oy1) (рис. 7.2).
Из чертежа видно, что BD = бу \х=х; FC = Oy1;
или
ЕС » у (X1) Ox1; BD = FC- ЕС 6yL= «Oy1-Z(X1)Ox1.
При этом приближенное равенство справедливо с точностью до бесконечно малых более высокого порядка.
§ і] ' Простейшая задача с подвижными границами 331
г, +олг.
Итак, окончательно имеем: J F dx я* F \х=Хі Ox1;
«і
} [F(X, у + 6у. у' + б/) —F(x, у,
х.
эд ру U, • (6^i — у' (XJ ^x1),
где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно бх, и Oy1. Следовательно, из (7.1) получим -
bv = F U, Ox1 + Fy U (бу, - у' (X1) Ox1) =
= (F -у'Fy)U1Ox1 + /VU1 Oy1-
или
dv (X1, у0 = (F - у'Fy) \x=Xi dx, + Fy U1 dyv
где V(X1, у,) — функция, в которую превратился функционал v на экстремалях у = у(х, C1), a ^x1 = Ax1=Ox1, ^y1=Ay1=Oy1— приращения координат граничной точки. Основное необходимое условие экстремума Of = 0 приобретает вид
(^-У^О U1Ox1 +/VU,, Oy1=O. ¦ (7.2)
Если вариации Ox1 и Ьу1 независимы, то отсюда следует, что (F-y'Fy)\x__Xi=0 и FvU=O-
Однако чаще приходится рассматривать случай, когда вариации бх, и Oy1 зависимы.
Пусть, например, правая граничная точка (X1, уг) может перемещаться по некоторой кривой
у1=ф(х1).
Тогда Oy1 я; ф' (X1) Ox1 и, следовательно, условие (7,2) принимает вид [F-J-(T' — У) Fy-JOx1 = 0 или, так как Ox1 изменяется произвольно, то [F+ (ф'—у') Fy] х_х^ = 0. Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами гг/ и у' в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности.
Условие трансверсальности совместно с условием у1=ф(х1) позволяет, вообще говоря, определить одну или несколько экс/тема-лей пучка у = у(х, C1), на которых может достигаться экстремам. Если граничная точка (х0, у0) может перемещаться по некоторой кривой Уо=^ (х0), то совершенно так же обнаружим, что и в точке (xQ, у0) должно удовлетворяться условие трансверсальности
[F + 01/- У') Fy]x^x=Q-
'332 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ' |ГЛ. 7
Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционалов вида
*1 _
V= j А(х, у) ]Л + У'2 ах.
Xe
Условие трансверсальности F-\-Fy, (<р' — у')= 0 имеет в данном случае вид А(х у) Vl + У 4- «p-^) = O „ли т/Т—тг. =0;
Vl+У
предполагая, что А(х, у) =f= 0 в граничной точке, получим 1 -4- у'ф' = 0 или у' •¦= —, т. е. условие трансверсальности свелось в данном случае к условию ортогональности.
Пример 2. Исследовать на экстремум функционал ^ У 1 4~ У_
о У
причем у (0)=0, а у і = xt—5 (рис. 7.3). Интегральными кривыми уравнения Эйлера (пример 1, стр. 324) являются окружности (х — C1)2 4- у2 = С\.
Рис. 7.3.
Рис. 7.4.
Первое граничное условие дает C1 = C2. Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. предыдущий пример), то прямая ух = Xx -^-5 должна быть диаметром окружности и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке (0, 5) пересечения прямой у, = Xi — 5 с осью абсцисс. Следовательно, (х — 5)2 4 У2= = 25, или у = ± У10х — х2. Итак, экстремум может достигаться лишь на дугах окружности у = YlQx — х2 и у=—YlQx — х2.
Если граничная точка (JKr1, ^1) может перемещаться лишь по вертикальной прямой (рис. 7.4) и, следовательно, блг, = 0, то условие (7.2) переходит в Fy \хах = 0.
Пусть, например, в задаче о брахистохроне (см. стр. 304) левая граничная точка закреплена, а правая может перемещаться по вертикальной прямой.
§ 1]
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА с ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
333
Экстремалями функционала
о
V H-У2
Vy
dx являются циклоиды, урав-
нения которых, если принять во внимание условие у (0) = 0, будут иметь
вид
X = Ci (* — sin і), у = C1(X- cos t).
Для определения C1 используем условие Fy х которое в данном
случае имеет вид
У'
Vy Vl + y'
= 0,
откуда у' (X1) =0, т. е. искомая циклоида должна пересекать прямую х = X1 под прямым углом и, следовательно, точка X=X1, у = Уі должна быть
0
X
—д-*-
/ \ / \
В
У
1'X1
Рис. 7.5.
вершиной циклоиды (рис. 7.5). Так как вершине соответствует значение
t = л, то X1 = С\%, C1 = . Следовательно, экстремум может реализоваться it
лишь на циклоиде
X = (t — sin г); у = (1 — cos t).
Если граничная точка (X1, у.) в задаче об экстремуме фунКцио-
нала v= J F (х, у, y')dx может перемещаться по горизонтальной
*>
прямой у = у., то Oy1 = O и условие (7.2)/или условие трансверсальности, принимает вид
:0.
334 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 7
