Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Не следует думать, что экстремали с угловыми точками появляются лишь в задачах на отражение или преломление экстремалей. Экстремум может достигаться на экстремалях с угловыми точками даж(
в задачах на экстремум функционала V = j F(x, у, y')dx, где функ-
ция F трижды дифференцируема, и допустимые кривые должны проходить через граничные точки AuB без каких бы то ни было дополнительных условий.
Так как в точке преломления может быть разрывна лишь у', то это условие преломления можно записать и в следующем виде:
F1(X1, yv у' (X1 -0)) +
+ (ф7 (X1)-у'(X1 -O))F^(X1, Уі, /(Jf1-o)) = = F2(X1, ух, /(Jf1+ о))-Н
4- (ф' (X1) -/(Jf1 4- o))zv уі. /(*і + 0)).
Это условие преломления вместе с уравнением у1=ф(х1) дает возможность определить координаты точки С. Если, в частности, функционал v равен
344 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 7
Исследуем, например, функционал
2
v = f у'2 (\—y')2dx, у (0) = 0; у (2)=1.
Так как подынтегральная функция положительна, то v 0, и следовательно, если на какой-нибудь кривой функционал v = 0, то на этой кривой заведомо реализуется абсолютный минимум функционала v, т. е. наименьшее значение функционала на допустимых кривых. Нетрудно видеть, что на ломаной у = х при 0 <С х < 1 и у = 1
при 1 < x ^ 2 (рис. 7.11) функционал v=0, так как на этой ломаной подынтегральная функция тождественно I11I у=1 ,j1J равна нулю. Следовательно, на этой
's ] ' ломаной реализуется абсолютный ми-
4/ I нимум функционала.
' і x Абсолютный минимум функционала:
' *" v = 0, достигается также и на ломаных, изображенных на рис. 7.13. рис 7jj с другой стороны, легко видеть, что
на гладких кривых значения функционала строго больше нуля, хотя и могут быть сделаны сколь угодну близкими к нулю. Действительно, подынтегральная функция обращается в нуль только при у = х 4- C1 или при у = C2, но линии, составленные из отрезков прямых этих семейств, проходящие через точки Л(0, 0) и В (2, 1), могут быть лишь ломаными. Однако, сглаживая точки излома путем соответствующего изменения функции в сколь угодно малой окрестности этих точек, мы можем получить гладкую кривую, значение функционала на которой сколь угодно мало отличается от значений функционала на ломаной. Таким образом, v = 0 является точной нижней гранью значений функционала v на гладких кривых, но эта точная нижняя грань на гладких кривых не достигается, а достигается на кусочно-гладких кривых.
Найдем условия, которым должны удовлетворять решения с угловыми точками задачи об экстремуме функционала v[y(x)] =
X1
= J F(x, у, y')dx. Очевидно, что отдельные гладкие дуги, из кото-
Хц
рых составлена ломаная экстремаль, должны быть интегральными кривыми уравнения Эйлера. Это следует из того, что если зафиксировать все звенья ломаной, кроме одного, и варьировать лишь это одно звено, то задача сводится к простейшей задаче с закрепленными границами и, следовательно, это звено должно быть дугой экстремали.
ЭКСТРЕМАЛИ G УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
345
Считая для упрощения записи, что ломаная экстремаль имеет лишь одну угловую точку *), найдем условия, которые должны удовлетворяться в угловой точке:
Х% Х\ Х%
V= j F(x, у, у')dx= j F(x, у, у')dx-\- J F (х, у, y')dx,
*> *0 '*!
где JC1 — абсцисса угловой точки (рис. 7.12). Считая, что кривые AC и CB являются интегральными кривыми уравнения Эйлера
Рис. 7.12.
и что точка С может произвольно перемещаться, получим согласно § 1. стр. 331:
Ov = (F -y'/v) L^0OXi +
+ Fy !,-,,-о 6^i - (р - У'Fr)i^1+0 o*' - Fy \ХтХі+0 ЬУі = 0,
откуда
(F - y'Fy.) \x_xi_0 Ox1 + Fy \x=xi_0 Oy1 =
= (F - y'Fy)\x=Xi+Q Ox1 + Fy \x=Xi+0 Oy1,
или, так как Ox1 и Oy1 независимы, имеем
(F-y'Fy)\x^_0 = (F~y'Fr)\x=Xi+0
и
Fy' U=Jr1-O — Fy 1,=,,+0-
Эти условия вместе с условиями непрерывности искомой экстремали позволяют определить координаты угловой точки.
*) Если угловых точек несколько, то к каждой из них применимо то же самое рассуждение.
346 ёариацйонные задачи с подвижными границами [ГЛ. 7
удовлетворяются при и
или и
У (X1-O) = O у' (X1 4-O)=I у'(X1-0)=1 у' (X, 4-0) = 0.
Следовательно, ломаные экстремали могут состоять только из отрезков прямых, принадлежащих семействам у = Cx и у = х-\-С, (рис. 7.13).
§ 4. Односторонние вариации
В некоторых вариационных задачах об экстремуме функционала v[y(x)] на класс допустимых кривых может быть наложено ограничение, запрещающее им проходить через точки некоторой области R, ограниченной кривой Ф(х, у) = 0 (рис. 7.14). В этих задачах кривая С, реализующая экстремум, или проходит целиком вне границы области R, и тогда она должна быть экстремалью, так как в этом случае наличие запрещенной области R совершенно не влияет на свойства функционала и его вариации в окрестности кри-
Пример 1. Найти ломаные экстремали (если они существуют) функ-а
ционала v = j (y'2 — у2) dx. Напишем второе из условий, которые должны о
