Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
У VTTV
WIyWl = J у dx; у (0) = 0,
о
если вторая граничная точка (X1, yj) может перемещаться по окружности (x — 9)2 -f- у2 = 9.
3. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала
Xi
HyWl= f (y'*-6y'*)dx; у (0) = 0; У (x1) = у ^
о
4. Найти условие трансверсальности для функционала
г,
v[y (х)] = J А(х. у) earcts У У\ 4- у'' aXi а (х. у) Ф 0.
X1
5. Пользуясь основным необходимым условием экстремума 6и = 0, найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала
і
VІУ (x)] = j (y"2 — 2xy)dx; у (0) = у'(0) = 0;
о
У (1) = ^2O-; У' (1) — не задано.
6. Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала
10
v[y(x)] = j у'3 dx; у (0) = 0; у (10) = 0,
о
при условии, что допустимые кривые не могут проходить внутри круга, ограниченного окружностью
(х-5)2-j-y2=9.
7. Найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала
я
t
v[y(x)] = f (y2-y'2)dx; у(0) = 0,
о
я
если другая граничная точка может скользить по прямой х = —.
8. Пользуясь лишь основным необходимым условием Ov = 0, найти кривую, на которой может достигаться экстремум функционала
ГЛАВА 8
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА § 1. Поле экстремалей
Если на плоскости (х, у) через каждую точку некоторой области D проходит одна и только одна кривая семейства у = у(х. С), то говорят, что это семейство кривых в области D образует поле, или, точнее, собственное поле. Угловой коэффициент касательной р (лг, у) к кривой семейства у = у(лг, С), проходящей через точку (х, у), называется наклоном поля в точке (х, у).
Например, внутри круга х2 т~ У2 • параллельные прямые у = X + С образуют поле (рис. 8.1), причем наклон этого поля р(х,у)=1. Напротив, семейство парабол у = (х —а)2 — 1 (рис. 8.2) внутри того же круга поля не образует, так как внутри этого круга параболы рассматриваемого семейства пересекаются.
Если все кривые семейства у = у (х. С) проходят через некоторую точку (х0, у0), т. е. образуют пучок кривых, то они заведомо не образуют собственного поля в области D, если центр пучка принадлежит области D. Однако если кривые пучка покрывают всю область D и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра пучка, т. е. во всех точках, отличных от центра пучка, требования, налагаемые на поле, выполнены, то говорят, что семейство у = у (х, С) тоже образует поле, но в отличие от собственного поля в рассматриваемом случае поле называется центральным (рис. 8.3).
Рис. 8.1.
352 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [ГЛ. 8
Рис. 8.2.
достаточно малой окрестности отрезка оси абсцисс б < х < а, где б > 0, а < л, образует собственное поле (рис. 8.4). Тот же пучок
синусоид в окрестности отрезка оси абсцисс 0 ^x ^ O1, O1 > л, поля не образует (рис. 8.4).
Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно называется полем экстремалей.
х Понятие поля почти без изменения
Q переносится и на случай пространства лю-
бого числа измерений. Семейство уt =
= yt (х, Су ..., Cn) (/ = 1,2.....п) образует
поле в области D пространства х, ух, ..., уп, если через каждую точку области D проходит одна и только одна кривая семейства yl = у(. (х, Cy..., Cn). Функциями наклона поля р. (х, ур у2.....у )
(г = I, 2.....п) называют частные производные от функций уДх, Cy C2.....Cn)
по х, вычисленные в точке (х, у у, у 2.....Уд); следовательно, для получения
уп) надо взять ~ у.(х, Cy C2.....Cn) и заменить C1,
Рис. 8.3.
P1(X, у у у2>
C2, Cn их выражениями через координаты х, у,, у2, определяется и центральное поле.
.., уп. Аналогично
Например, пучок синусоид y = Csinx при О^х^а, а<л образует центральное поле (рис. 8.4). Тот же пучок синусоид в
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
353
Пусть кривая у = у(х) является экстремалью вариационной задачи об экстремуме простейшего функционала
V [у (X)] = J F(x, у, y')dx, f
причем граничные точки Л(х0, у0) и B(X1, ух) закреплены. Говорят, что экстремаль у = у(х) включена в поле экстремалей, если найдено
Рис. 8.4.
семейство экстремалей у = у(х, С), образующее поле, содержащее при некотором значении С = C0 экстремаль у = у (х), причем эта экстремаль у = у(х)не лежит на границе области D, в которой
^ У*У(х)
X
ІУ
дЛш^—
X
0
0
Рис. 8.5. Рис. 8.6.
семейство у = у(х, С) образует поле (рис. 8.5). Если пучок экстремалей с центром в точке А (х0, у0) в окрестности экстремали у = у (х), проходящей через ту же точку, образует поле, то тем самым найдено центральное поле, включающее данную экстремаль
354
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
ГГЛ. 8
у = у (х). За параметр семейства в данном случае можно взять угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке А (х0, у0) (рис. 8.6).
Пример 1. Дан функционал
а
j (у'2 — У2) dx;
о
требуется включить дугу экстремали у = О, соединяющую точки (0, 0) и (а, 0), где 0 < а < ті в центральное поле экстремалей. Общее решение уравнения Эйлера у" + У = 0 (см. стр. 298, пример 1) имеет вид у = C1 cos X-J-C2 sin х.
