Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Задача с подвижными границами
для функционалов вида J F(x, ys г, у', z')dx
- «і
Если при исследовании на экстремум функционала
Xi
V = j F(x, у. z, у', z')dx
х,
одна из граничных точек, например B(X1, yt, Z1), перемещается, а другая, А(х0, у0, Z0), неподвижна (или обе граничные точки подвижны), то очевидно, что экстремум может достигаться лишь на интегральных кривых системы уравнений Эйлера
Действительно, если на некоторой кривой С реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, т. е. достигается максимальное или минимальное значение v по сравнению со значениями v на всех близких допустимых кривых, среди которых находятся как кривые, имеющие общие граничные точки с кривой С, реализующей экстремум, так и кривые, у которых граничные точки не совпадают с граничными точками кривой С, то тогда подавно на кривой С достигается экстремум по отношению к более узкому классу близких кривых, имеющих общие граничные точки с кривой С.
Следовательно, на кривой С должны удовлетворяться необходимые условия экстремума задачи с неподвижными ,граничными точками, и, в частности, кривая С должна быть интегральной кривой системы уравнений Эйлера.
Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки А (х0, У0, Z0), которую мы считаем неподвижной, можно, вообще говоря, исключить две произвольные постоянные.
Для определения двух других произвольных постоянных необходимо иметь еще два уравнения, которые будут получены из условия bv = 0, причем при вычислении вариации мы уже будем считать, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера, так как только на них может достигаться экстремум. При этом функционал V превращается в функцию Ф(хх, уг, Z1) координат X1, уг, Z1 точки S(X1, у¦y, Z1), и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции*).
*) Функция Ф будет однозначной, если экстремали пучка с центром в точке А не пересекаются, так как тогда точка В(хь ух, Z1) однозначно определяет экстремаль.
$ «] задача с подвижными границами 335
Вычисление вариации v может быть проведено совершенно так же, как на стр. 328 — 331:
Av = j F(x, y-f-oy, z + bz, /•4-6/. z' + bz')dx —
Xr
Xi
— j F(x, у, z, у', z')dx =
Го
= j F(x, у+ by, z-\~bz, у'+ by', z' A- bz')dx A-
Ar f lP(x. уА-by, zArbz, y'A-by', z' -\-bz') —
— F(x, y, z, /, z')\dx.
Применим теорему о среднем значении к первому интегралу и воспользуемся непрерывностью функции F, а во втором интеграле выделим главную линейную часть с помощью формулы Тейлора. После этих преобразований получим
X1
bv = F \xoXi Ox1 -4- J {Fyby+F2bz + Fy by' Ar Fz' bz'\ dx.
Xi
Интегрируя по частям два последних слагаемых, стоящих под знаком интеграла, будем иметь:
^ = F U1 o*i + t/V oy),.,, + I?*' М,„, +
X1
X0
Так как значения v вычисляются лишь на экстремалях, то
и, следовательно,
^ = F \x=Xi Ox1 + [Fy by)x=Xi + [F2. Ъг\хтх,
Рассуждая так же, как и на стр. 330, получим
6У \x = Xi ~ Oy1- у' (X1) OX1 И bZ \XmXi » 6^i — Z' (X1)OXi,
и, следовательно, bv = [F- у'Fy - z'FAXmXl 6*i + Fy \x=Xi by, + Ft. | x=J>Zl = 0.
336 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 7
Если вариации OJc1, Oy1, Oz1 независимы, то из условия Ou = O получаем
[F-y'Fy-z'Fz.\x=x=b /VU1=O и /VU1 = O.
Если граничная точка В(X1, у-, Z1) может перемещаться по некоторой кривой у] = ф (X1); Z = Ij)(X1), то бу, =q/ (X1)Ox1, a 6z, = = ф' (X1) Ox1 и условие Ov = 0 или *
[F _ у<Ру. _ z'/vU, Ox1 -f Fy U1 б3>, + /7.- U,,, 6^1 = 0 переходит в условие
[F + (ф' - у') + (V' - z') /VU1 бх, = 0, откуда в силу произвольности Ox1 получим
[F + (ф' - /) Fy 4- (Ч>' - г') /VU1 = 0.
Это условие носит название условия трансверсальности в задаче об исследовании на экстремум функционала
v=zz JF(x, у, Z1 у', z')dx.
Условие трансверсальности совместно с уравнениями у1=ф(х1) Z1=ZzHp(X1) дает недостающие уравнения для определения произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Если граничная точка B(X1, у-, Z1) может перемещаться по некоторой поверхности Z1=(P(X1, у{), то Oz1 =ф^бх1 4 фу буи причем вариации Ox1 и Oy1 произвольны. Следовательно, условие bv = 0 или, в развернутом виде,
[F - У'Fy - z'F,. U Ox1 + Fy U1 Oy1 4- /V U r, Oz1 = О
преобразуется в условие
{F-y'Fy.-z'Fl+(p>KF,,\x__xbxx ±\Fy +/'4^4,, = 0.
Отсюда в силу независимости бх, и Oy1 получим
[F-y'Fy, 4 (Ф;-z')/vu =о, [/V 4-/%др;и,=°-
Эти два условия вместе с уравнением г1=ф(х1, у{), вообще говоря, дают возможность определить две произвольные постоянные в общем решении системы уравнений Эйлера.
Если подвижной является граничная точка А (х0, у0, Z0), то тем же методом в этой точке получим совершенно аналогичные условия.
§ 21 ЗАДАЧА Є ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 337
Если рассмотреть функционал
V= J F(x, уу у2.....уп, у[, у'2.....У'п)йх,
к,
то без изменения метода доказательства получим, что в случае подвижной точки B(X1, уп, у21, .... уп1) в этой точке
