Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Якоби имеет вид
— 2в—-^(2и') = 0 или и" + и = 0,
откуда
u = Ci sin (х— C2).
Так как «(O) = O1 то C2 = O; и = Ci sin х. Функция и обращается в нуль в точках х = kn, где k — целое число, и, следовательно, если 0 < а < л, то на отрезке 0 ¦<.*¦< а функция и обращается в нуль только в точке X = Q и условие Якоби выполнено; если же а >¦ л, то на отрезке 0 ¦< х а функция и обращается в нуль еще по крайней мере в одной точке х = я и условие Якоби не выполнено (сравните с примером 1, стр. 354).
Пример 3. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала
а
v[y(x)} = f (y'2 + у1 + х*) dx,
о
проходящей через точки А (0, 0) и В (а,' 0)?
Уравнение Якоби имеет вид и" — и = 0. Его общее решение возьмем в форме и = C1 sh X + C2 ch х. Из условия и (0) = 0 находим С, = 0. и = Ci sh х. Кривые пучка и = С\ sh х пересекают ось Ox лишь в точке х = 0. Условие Якоби выполнено при любом а.
§ 2. Функция Е(х, у, р, у')
Предположим, что в простей шей задаче об экстремуме функ ционала
«¦>
v = j F(x, у, y')dx;
х-
у(Хо) = у0, у (X1) = у,
условие Якоби выполнено и, следовательно, экстремаль, С, проходящая через точки А(х0, у0) и В(х}, у,), может быть включена в центральное поле, наклон которого равен р (х, у) (рис. 8.9)*). Для определения знака приращения Av функционала v при переходе от экстремали С к некоторой близкой допустимой кривой С
преобразуем приращение Av= JF(х, у, y')dx — Jf(x, y,y')dx
. S с
*) Можно было бы предположить, что экстремаль включена це в центральное, а в собственное поле-
358 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ІГЛ. 8
к более удобному для исследования виду. (Символы
j F(x, у, y')dx и j F(x, у, y')dx с с
представляют значения функционала v = j F(x, у, y')dx, взятые
соответственно по дугам кривых С и С). Рассмотрим вспомогательный функционал
/ [F (х, у, р) + (-g- - />) Fp (х, у, р)] dx, с
который на экстремали С обращается в j F (х, у, у') dx, так как
с
на экстремалях поля -j^- = P- С другой стороны, тот же вспомогательный функционал
/ [F (х, у, р) + (?- - р) Fp (х, у, р)] dx . с
или
JV(*. у, p) — pFp(x, у, p)]dx + Fp(x, у, р)dy (8.1)
с
является интегралом от точного дифференциала. Действительно, дифференциал функции v(x, у), в которую. превращается функционал v[y(x)] на экстремалях поля, согласно § 1 главы 7 (стр. 331), имеет вид
dv = \F(x, у, у') — y'Fy'(x, у, у')} dx -\~ Fr (х, у, y')dy
и лишь обозначением углового коэффициента касательной к экстремалям поля отличается от подынтегрального выражения в рассматриваемом вспомогательном интеграле (8.1).
Итак, интеграл j [F (х, у, р) + (y' — р) Fp\ dx на экстремали С с
совпадает с интегралом j F(x, у, у') dx, а так как функционал
с
J* [F (х, у, р) -j- (у' — р) Fp] dx является интегралом от точного с
S 21 функция Е(х. у. р, /) 359
дифференциала и, следовательно, не зависит от пути интегрирования, то
f F(x, у, y')dx = J [F(x, у, р) Ar (y' — p)Fp(x, у, p)[dx
с
с
не только при C = C но и при любом выборе С.
Следовательно, приращение
Av = J F(x, у, y')dx— j F(x, у, y')dx с с
может быть преобразовано к следующему виду:
Дг, = J F(x, у, y')dx-f[F(x, у, р) + (у1-р) Fр(х, у, p)\dx =
с с
= J[F(X, у, у') —F(x, у, р) —(y' — p)Fp(x, у, p)\dx.
с
Подынтегральная функция носит название функции Вейерштрасса и обозначается E (х, у, р, у'):
Е(х, у, р, у') = F(X, у, у') —F(x, у, р) —(y' —p)Fp(x, у, р). В этих обозначениях
Очевидно, что достаточным условием достижения функционалом v минимума на кривой С будет неотрицательность функции Е, так как если E ^> 0, то и Av ^> 0, а достаточным условием максимума будет E ^ О, так как в этом случае и Дг>^0. При этом для слабого минимума достаточно, чтобы неравенство Е(х, у, р, у')<>0 (или /J^ 0 в случае максимума) выполнялось для значений х, у, близких к значению х, у на исследуемой экстремали С, и для значений у', близких к р(х, у) на той же экстремали, а для сильного минимума то же неравенство должно быть справедливо для тех же х, у, но уже для произвольных у', так как в случае сильного экстремума близкие кривые могут иметь произвольные направления касательных, а в случае слабого экстремума значения у' на близких кривых близки к значениям у' = р на экстремали С.
Следовательно, достаточными для достижения функционалом v экстремума на кривой С будут следующие условия.
Для слабого экстремума:
1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям.
360 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [ГЛ. 8
Рис. 8.10.
v = fy'*dx; у (0) = 0,
о
у (a) = b, а > 0, b > 0.
Экстремалями являются прямые линии у = C1X -j-C2. Экстремум может достигаться лишь на прямой у = — х. Пучок прямых у = C1X с центром
b
в точке (0, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль у = — х
(рис. 8.10). Функция
E (X. у. р, у') = у'3 — р3 — Зр* (у' - р) = (y' - pf (y' + 2р). На экстремали у = Lx наклон поля р = > 0, и если у' принимает значения, близкие к р = -^-, то ?>0 и, следовательно, все условия, достаточные для достижения слабого минимума, !выполнены. Итак, на экстремали у =--^х достигается слабый минимум. Если же у' принимает произвольные
