Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
2 У\РУ
X=X1
i = i и
Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала
X1 _
V= j А (х, у, г) У1 -f- у'2 + z'2 dx, если «= <p (je,, у,).
Условия трансверсальности
[F-y'Fy+(<t'x-z')Fz,}x=xr0 и fr. + ^.q^-O в данном случае имеют вид 1 4~ <p'xz' = 0 и y'-f <pyz = 0 при X = X1 илн
1
Z1
1
при X = X1, т. е. являются условием параллельности вектора
фл фу
касательной /(1, у', г') к искомой экстремали в точке (jc1, уь Z1) и вектора нормали N (чр'х, (р'у, —l) к поверхности z = ф (jc, у) в той же точке. Следовательно, условие трансверсальности становится в данном случае условием ортогональности экстремали к поверхности z = ф (jc, у).
Пример 2. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностями
Z = ф (je, у) и Z = ф (х, у). Иначе говоря, найти экстремум интеграла
Xi
I = J* ]А -4- у'2 -4- z'2 dx при условии,- что коорди-
Xa
наты одной из граничных точек (jc0, у0, Z0) удовлетворяют уравнению Z0 = ф (JC0 Уо), а координаты другой граничной точки (Xy уи Z1) удовлетворяют уравнению Z1 «= ф (X1, уі).
Так как подынтегральная функция зависит лишь от у' и г', то экстремалями являются прямые линии (см. пример 2, стр. 307) Так как функционал
Xi _
J* V1 + У'2 + г'% dx является частным случаем рассмотренного в преды-
Х\ _
дущем примере функционала j А (х, у, z) У1 + У'2 4- г'2 dx, то условия
Рис. 7.6.
338 вариационные задачи с подвижными границами [гл. 7
§ 3. Экстремали с угловыми точками
До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция у = у (х) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее требование является неестественным, более того, в некоторых классах вариационных задач решение, как правило, достигается на экстремалях, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат, например, задачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением соответствующих задач на отражение и преломление света.
Задача об отражении экстремалей. Найти кривую, реа-
X,
лизующую экстремум функционала v = J F (х, у, y')dx и проходящую через заданные точки A(X0, у0) и В(х2. У2). причем кривая должна
трансверсальности как в точке (х0, у0, г0), так и в точке (Je1, yit Z1) переходят в условия ортогональности. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на прямых, ортогональных как к поверхности z = q> (х, у) в точке (х0, у0, Z0), так и к поверхности 2=г|)(х, у) в точке (x1, уі, Zi) (рис. 7.6). Пример 3. Исследовать на экстремум функционал
V=J (у'2 -+- z'2 -f 2уг) dx, причем у (0) = 0; г (0)=0, а точка (X1Ay1, г,) может
X,
перемещаться по плоскости X = X1. Система уравнений Эйлера имеет вид г" — у = 0; у" —2 = 0, откуда y,v — у = 0; у= C1 chx4- C2sh х4 C3cosx4 4 С, sin х, z = у"; г = C1 ch X 4 C2 sh X — C3 cos х — C4 sin х. Из условий у (0) = 0 и z (0) = 0 получаем: C1 4 C3 = 0 и C1 — C3 = 0, откуда C1 = C3 «= 0. Условие в подвижной граничной точке
переходит в условия
/у I =0 и F2, I =0,
' IX = X1 . z ix = x,
так как Ox1 = 0, а бу, и Oz1 произвольны. В рассматриваемом примере Fy, = 2у'; F2, = Iz', следовательно
у'(X,) = 0 и 2'(X1J = O
или
C2 ch X1 4 C4 cos X1 = 0 и C2-ch х, —.C4 cos X1 = 0.
Если cos Х| Ф 0, то C2 = C4 = 0 и экстремум может достигаться лишь на
прямой у = 0; 2=0. Если же cos Xj = 0, т. е. X1 = -j 4 пп> где п — целое
число, то C2 = 0, C4 — произвольная постоянная, у = C4 sin х, z = — C4 sin х. Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом C4 функционал t> = 0.
«зі
экстремали с угловыми точками
339
попасть в точку В лишь после отражения от заданной линии у = ф(х) (рис. 7.7).
Естественно считать, что в точке отражения C(xv у{), может быть угловаяточка искомой экстремали и, следовательно, в этой точке левая производная у' (X1 — 0) и правая производная у' (X14- 0), вообще говоря, различны. Поэтому удобнее функционал V [у (лг)] представить в виде і
V [у (х)\ = f F(x, у, y')dx +
X-
X1
+ f F(x, у, y')dx,
,У
рВ(хг,уг}.
. 1^-У°<{№
/с(х»У,)
.X
0
Рис. 7.7.
причем на каждом из интервалов
X0 х ^ X1 и X1 ^ X ^X2 производная у'(х) предполагается непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше результатами.
Основное,необходимое условие экстремума bv = 0 принимает вид
ov = o [ F(x, у, у') dx -4-6 j F(x, у, y')dx =
0.
Так как точка (X1, ух) может перемещаться по кривой у=ф(х), то
*1 х,
при вычислении вариаций 6 J F(x, у, y')dx и 6 j F(x, у, y')dx
X§ Х\
мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точкой, движущейся по заданной кривой, и можем использовать результаты § 1 (стр. 327). Очевидно, что кривые AC и CB являются экстремалями. Действительно, на этих участках у=у(х) является решением уравнения Эйлера, так как если считать одну из этих кривых уже найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к нахо-
X1 / X1