Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 105

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 131 >> Следующая


2 У\РУ

X=X1

i = i и

Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала

X1 _

V= j А (х, у, г) У1 -f- у'2 + z'2 dx, если «= <p (je,, у,).

Условия трансверсальности

[F-y'Fy+(<t'x-z')Fz,}x=xr0 и fr. + ^.q^-O в данном случае имеют вид 1 4~ <p'xz' = 0 и y'-f <pyz = 0 при X = X1 илн

1

Z1

1

при X = X1, т. е. являются условием параллельности вектора

фл фу

касательной /(1, у', г') к искомой экстремали в точке (jc1, уь Z1) и вектора нормали N (чр'х, (р'у, —l) к поверхности z = ф (jc, у) в той же точке. Следовательно, условие трансверсальности становится в данном случае условием ортогональности экстремали к поверхности z = ф (jc, у).

Пример 2. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностями

Z = ф (je, у) и Z = ф (х, у). Иначе говоря, найти экстремум интеграла

Xi

I = J* ]А -4- у'2 -4- z'2 dx при условии,- что коорди-

Xa

наты одной из граничных точек (jc0, у0, Z0) удовлетворяют уравнению Z0 = ф (JC0 Уо), а координаты другой граничной точки (Xy уи Z1) удовлетворяют уравнению Z1 «= ф (X1, уі).

Так как подынтегральная функция зависит лишь от у' и г', то экстремалями являются прямые линии (см. пример 2, стр. 307) Так как функционал

Xi _

J* V1 + У'2 + г'% dx является частным случаем рассмотренного в преды-

Х\ _

дущем примере функционала j А (х, у, z) У1 + У'2 4- г'2 dx, то условия

Рис. 7.6.

338 вариационные задачи с подвижными границами [гл. 7

§ 3. Экстремали с угловыми точками

До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция у = у (х) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее требование является неестественным, более того, в некоторых классах вариационных задач решение, как правило, достигается на экстремалях, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат, например, задачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением соответствующих задач на отражение и преломление света.

Задача об отражении экстремалей. Найти кривую, реа-

X,

лизующую экстремум функционала v = J F (х, у, y')dx и проходящую через заданные точки A(X0, у0) и В(х2. У2). причем кривая должна

трансверсальности как в точке (х0, у0, г0), так и в точке (Je1, yit Z1) переходят в условия ортогональности. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на прямых, ортогональных как к поверхности z = q> (х, у) в точке (х0, у0, Z0), так и к поверхности 2=г|)(х, у) в точке (x1, уі, Zi) (рис. 7.6). Пример 3. Исследовать на экстремум функционал

V=J (у'2 -+- z'2 -f 2уг) dx, причем у (0) = 0; г (0)=0, а точка (X1Ay1, г,) может

X,

перемещаться по плоскости X = X1. Система уравнений Эйлера имеет вид г" — у = 0; у" —2 = 0, откуда y,v — у = 0; у= C1 chx4- C2sh х4 C3cosx4 4 С, sin х, z = у"; г = C1 ch X 4 C2 sh X — C3 cos х — C4 sin х. Из условий у (0) = 0 и z (0) = 0 получаем: C1 4 C3 = 0 и C1 — C3 = 0, откуда C1 = C3 «= 0. Условие в подвижной граничной точке

переходит в условия

/у I =0 и F2, I =0,

' IX = X1 . z ix = x,

так как Ox1 = 0, а бу, и Oz1 произвольны. В рассматриваемом примере Fy, = 2у'; F2, = Iz', следовательно

у'(X,) = 0 и 2'(X1J = O

или

C2 ch X1 4 C4 cos X1 = 0 и C2-ch х, —.C4 cos X1 = 0.

Если cos Х| Ф 0, то C2 = C4 = 0 и экстремум может достигаться лишь на

прямой у = 0; 2=0. Если же cos Xj = 0, т. е. X1 = -j 4 пп> где п — целое

число, то C2 = 0, C4 — произвольная постоянная, у = C4 sin х, z = — C4 sin х. Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом C4 функционал t> = 0.

«зі

экстремали с угловыми точками

339

попасть в точку В лишь после отражения от заданной линии у = ф(х) (рис. 7.7).

Естественно считать, что в точке отражения C(xv у{), может быть угловаяточка искомой экстремали и, следовательно, в этой точке левая производная у' (X1 — 0) и правая производная у' (X14- 0), вообще говоря, различны. Поэтому удобнее функционал V [у (лг)] представить в виде і

V [у (х)\ = f F(x, у, y')dx +

X-

X1

+ f F(x, у, y')dx,



рВ(хг,уг}.



. 1^-У°<{№



/с(х»У,)



.X

0


Рис. 7.7.

причем на каждом из интервалов

X0 х ^ X1 и X1 ^ X ^X2 производная у'(х) предполагается непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше результатами.

Основное,необходимое условие экстремума bv = 0 принимает вид

ov = o [ F(x, у, у') dx -4-6 j F(x, у, y')dx =

0.

Так как точка (X1, ух) может перемещаться по кривой у=ф(х), то

*1 х,

при вычислении вариаций 6 J F(x, у, y')dx и 6 j F(x, у, y')dx

X§ Х\

мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точкой, движущейся по заданной кривой, и можем использовать результаты § 1 (стр. 327). Очевидно, что кривые AC и CB являются экстремалями. Действительно, на этих участках у=у(х) является решением уравнения Эйлера, так как если считать одну из этих кривых уже найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к нахо-

X1 / X1
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed