Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
выполняться в точке перелома, F,., I = F1,, I , или в данном слу-
у U=JCi-o у U=jc,+o j
чае 2у' (х, — 0) = 2у' (X1 + 0), откуда у' (X1 — 0) — у' (х, -j- 0), т. е. производная у' в точке X1 непрерывна, и точ-ки перелома нет. Следовательно, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь на гладких кривых.
Пример 2. Найти ломаные экстрема-
ли функционала v= J"y'2(l—у')2 dx. Так
X,
как подынтегральная функция зависит Рис. 7.13. лишь от у', то экстремалями являются
прямые линии у= Cx4-С (см. стр. 301). Условия в точке перелома в данном случае принимают вид
- У'2 (1 - У) (1 - Зу') W1-0 = - у'2 (1 - у') (1 - Зу') U ^+0
2у' (1 - у') (1 - 2у') \x=Xi_0 = 2у' (1 - у') (I - 2у') \XaXi+v
Эти условия, не считая тривиальной возможности у' (X1-O)= у' (X1^O),
ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ
347
вой С, и рассуждения главы 6 остаются справедливыми, или кривая С состоит из дуг, лежащих вне границы R, и из частей границы области R. В этом последнем случае возникает новая ситуация: на частях границы области R возможны лишь односторонние вариации кривой С, так как внутрь области допустимые кривые заходить не могут. Части кривой С, лежащие вне границы области R, должны по-прежнему быть экстремалями, так как если варьировать кривую С лишь на таком, допускающем двусторонние вариации, участке,
О
Рис. 7.14.
то наличие области R на вариации у влиять не будет, и выводы главы 6 остаются справедливыми.
Таким образом, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь на кривых, состоящих из дуг экстремалей и частей границы области R, а следовательно, для построения искомой кривой, реализующей экстремум, надо получить условия в точках перехода экстремали на границу области R, дающие возможность определить эти точки. В случае, изображенном на рис. 7.15, необходимо получить условия в точках М, N, P и Q. Получим, например, условие в точке М. Совершенно аналогично можно было бы получить условия и в других точках перехода экстремали на границу,области
При вычислении вариации bv функционала
X1 X X1
V=, J F(x, у, y')dx = f F(x, у, у') dx + J F(х, у, у')dx
Xq Xu
мы можем считать, что вариация вызывается лишь смещением
точки М(х, уї на кривой Ф(х, у) = 0, т. е. можно считать, что при всяком положении точки M на крикой Ф(х, у) = 0 дуга AM является уже экстремалью, а участок MNPQB не варьируется.
348 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
[ГЛ. 7
V1 = f F(X, у, у')
dx
имеет подвижную граничную точку, перемещающуюся по границе области R, уравнение которой Ф(х, у) = 0, или в разрешенном в окрестности точки M относительно у виде: y = q>(x). Следовательно, согласно § 1 (стр. 331)
Zv1 = [F + (о/ - у') Fy]xtt-6x.
Xx
Функционал V2 = j F (х, у, y')dx также имеет подвижную гра-
ничную точку (х, у), однако в окрестности этой точки кривая, на которой может достигаться экстремум у = ор(х), не варьируется.
Рис. 7.15.
Следовательно, изменение функционала V2 при перемещении точки (х, у) в положение (х -4- ox, y-f-oy) сводится лишь к изменению нижнего предела интегрирования и
Av,
J F(x, у, y')dx—j F(x, у, y')dx =
х+Ьх
х+6х
Х + &Х
==— J F(x, у, y')dx=~ j* F(x, ф(х), ф'(*))
dx.
так как на интервале (х, x-f-ox) у=ф(х).
Применяя теорему о среднем значении и пользуясь непрерывностью функции F, получим
Av2 = — F(x, ф(х), q>' (х))\х=-Ьх+ ? • ox,
где ?->0 при бх->0.
Функционал
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 7 349
Следовательно, Ov2= —F (х, ф(х), ф' (х))\х=- 6х,
(W = Ov1 -J-Ov2 = [F (х, у, у') +
+ (Ф' - /) Fy (х. у, у')]х=хЬх- F(x, у, ф') U= JOx =
= [F(x, у, у') -F(x, у, <р') — (y' -^)Fy(X, у, y')Ujox,
так как у (х) = ф (х).
Необходимое условие экстремума ov = 0 ввиду произвольности ох принимает вид
[F(X, у, Z)-F(X, у, <р') — (у'-<р')Ру(х, у, у')]х=-х = 0. Применяя теорему о среднем значении, получим
(Z —у') [Fy(X. у, q)-Fy(x, у, у')]г=- = 0.
где q— значение, промежуточное между ф'(х) и у' (х). Снова применяя теорему о среднем значении, будем иметь
(Z —4>')(q-Z)Fyy(x, у, д)\л=- = 0,
где q — значение, промежуточное между q и у'(х). Предположим,
"что Fyу (х, у, q) ф 0. Это предположение является естественным для многих вариационных задач (см. главу 8). В этом случае условие
в точке M имеет вид у' (х) = ф' (х) (q = у' только при у' (х) = ф' (х), так как q — значение, промежуточное между у' (х) и ф' (х)).
Следовательно, в точке M экстремаль AM и граничная кривая MN имеют общую касательную (левую касательную для кривой у = у (х), правую — для кривой у=ф(х)). Итак, экстремаль касается границы области R в точке М.
Задачи к главе 7
1. Найти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала
»IyWl = JV-I)My' + !)***; У (0)=0; у (4) = 2.
и
2. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала
»ІУ (X)] = JV2 + 2xy-y2)dx; у(х0) = у„; у (X1)-у»
Xa
350 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 1
