Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
г,
«[¦*(*). У (0] — / Ф (Jf(O. У(і). x(t). Ht)), at. , h
оказалось более целесообразным искать решение в параметрической форме х = х (t), у = у (t); тогда функционал преобразуется к следующему виду:
v[x(t), y(t)} = С F[x.(<). у (г), Ш) Ht) dt.
J \ X (t)i
§ 6) ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 319
т. е, подынтегральная функция не изменилась при изменении параметрического представления.
h _
Длина дуги J Ух2 -f- у2 dt *), площадь, ограниченная некоторой кривой
to
Lf(Xy-
¦ ух) dt, являются примерами таких функционалов.
Для нахождения экстремалей функционалов рассматриваемого типа
Л
V [х (t), у (г)] = j Ф (х, у, х, у) dt,
где Ф — однородная функция первой степени однородности относительно х и у, как и для функционалов с произвольной подынтегральной функцией Ф(/, х, у, х, у), надо решить систему уравнений Эйлера
Фг — 4ф- = 0; Ф — 4®- =0.
dt X у dt у
Однако в рассматриваемом частном случае эти уравнения не являются независимыми, так как им должны удовлетворять наряду с некоторым решением х=-х (t), у =- у (t) и любые другие пары функций, дающие другое параметрическое представление той же кривой, что в случае независимости уравнений Эйлера привело бы к противоречию с теоремой существования
*) Функция ]ґх2 -(- у2 является положительно однородной первой степени однородности, т. е. для иее условие F (kx, ky) = kF(x, у) удовлетворяется лишь при положительных k, однако этого вполне достаточно для справедливости излагаемой в этом параграфе теории, так как при замене переменных т = ф (t) можно считать ф (t) > U.
где - _ •
Ф(х, у, kx, ky) = M>(x, у, х, у).
Перейдем к новому параметрическому представлению, полагая
т = ф(г) (ф(г)^О), х=х(х), у=у(т).
Тогда
[Ф(х(ї), y(t)x(t), y(t))dt = f Ф (х(х), у (х), хх(%у<$ (t), Ух(X) ф(t))-^-J J <г(0'
t Xo
В силу того, что Ф является однородной функцией первой степени однородности относительно л: и у, будем иметь
Ф (х, у, лгтф, утф) = фФ (х, у, хх, ут),
откуда
h т,
j Ф (х, у, xt, у() dt ~- J Ф (х, у хх, yt) dx,
320 метод вариаций в задачах с неподвижными границами [гл. 6
и єдине і вснности решения системы дифференциальных уравнений (см. стр. 75). Это указывает на то, что для функционалов вида
V [X (t), У (0] = J Ф (х, у, 'х, у) dt,
4
где Ф — однородная функция первой степени однородности относительно X и у, одно из уравнений Эйлера является следствием другого. Для нахождения экстремалей надо взять одно из уравнений Эйлера и проинтегрировать его совместно с уравнением, определяющим выбор параметра. Например, к уравнению — 2Т®Х = 0 можно присоединить уравнение jc2—j— у2 = 1, указывающее, что за параметр взята длина дуги кривой.
§ 7. Некоторые приложения
Основным вариационным принципом в механике является принцип стационарного действия Остроградского — Гамильтона, утверждающий, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, дающее стационарное значение (т. е. значение, соответствующее аргументу, для которого вариация функционала равна нулю) интегралу
(,
' (T — U) dt,
h
где T—кинетическая, a U — потенциальная энергия системы. Применим этот принцип к нескольким задачам механики.
Пример 1. Дана система материальных точек с массами /U1(I = I, 2.....п) и координатами (xt, у,, Z1), на которую действуют силы F,, обладающие силовой функцией (потенциалом) — U, зависящей только от координат:
_ dU P _ dU F - dU
V- -ST1' V ду,' 7V- dz,'
где Fx, Fy, Fz- координаты вектора F,, действующего на точку (х,, у,, Z1). Найти дифференциальные уравнения движения системы, ? дан-
ном случае кинетическая энергия
7-=42«Ді?+У?+±?).
i = i
а потенциальная энергия системы равна U. Система уравнений Эйлера для интеграла
J (T — U) dt
S п
имеет вид
дії
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
321
__jLuZL^o- —— — — — =.0- _ — — JLJJL
dxt dt a'xt ' dyt dt ^y1 ' ^z1 ^ ^g1
¦О,
или
(I = 1, 2,
л).
Если бы движение было подчинено еще некоторой системе независимых связей
<fj (U X1, X1, ..., Xn, У„ V2.....уп, Z1, Z2,
(j = 1, 2...../и, от < Зл),
то из уравнений связей можно было бы выразить т переменных через Зл — от независимых переменных (не считая времени t) или выразить все Зл переменных через Зл — от новых, уже независимых, координат
Я\, Яг, • • •> Язп-т-Тогда TnU можно было бы также рассматривать как функции
Як Яг.....Ягп-т и t:
Т=Т(Чь Яг.....Ягп-т, Ч\, Яг, .... Ягп-т, 0>
U = U(qt, q2, .... qin-m. t), и система уравнений Эйлера имела бы вид д (T — U) d дТ
дЯі
dt Oq1
¦ О
(I = 1, 2, ..., Зл — от).
Пример 2. Выведем дифференциальное уравнение свободных колебаний струны.
Поместим начало координат в один из концов струны. Струна в состоянии покоя под влиянием натяжения расположена вдоль некоторой прямой, по которой направим ось абсцисс (рис. 6.15). Отклонение от положения равновесия и (х, I) будет функцией абсциссы X и времени t.
