Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
получим
Xl п
Так как функции ylt у2, •••> уп подчинены т независимым связям
ФД*. У\> Уг.....Уп) = 0 (1-І, 2.....т),
то вариации буу не произвольны, и пока применять основной леммы нельзя. Вариации буу должны удовлетворять следующим условиям,
функционала
X1 і т > л,
«* = / IF+ ^k1(X)VAdX = f F*dx.
X, V / = 1 / дг.
Функции Xt(x) и Уі(х) определяются из уравнений Эйлера
F' —4-F*>=0 (у = 1, 2.....п)
уу dx у j KJ
и
(P1 = O (1= 1, 2.....т).
Уравнения (Pt = O можно также считать уравнениями Эйлера для функционала о*, если аргументами функционала считать не только
функции уц у2.....Уп- но и (х), Х2(х).....Хт(х). Уравнения
Ф/ (¦*• Уі< Уг.....Уп) — О (I — 1 • 2, ..., т) предполагаются независимыми, т. е. один из якобианов порядка т отличен от нуля, например
?>(фі, Фг, Фт) , о 0(Уі> Уг.....Ут)
Доказательство. Основное условие экстремума bv = 0 принимает в данном случае вид
S ц СВЯЗИ ВИДА q>(.t, jr,)-0 379
полученным путем варьирования уравнений связей <рг = 0:
п
2^0У; = 0 (/=1.2.....«)*),
и следовательно, только п — ш из вариаций Ьу} можно считать произвольными, например bym+1, Ьут+2, .... Ьуп, а остальные определяются из полученных уравнений.
Умножая почленно каждое из этих уравнений на X1(X) dx и интегрируя в пределах от x0 до x1, получим
/ M*) 2 IyJ 6M* = 0 (/=1.2.....m).
х„ j = l
Складывая почленно все эти т уравнений, которым удовлетворяют допустимые вариации byJt с уравнением
будем иметь
т
или, если ввести обозначение
т
получим
by j dx = О,
X0 j -1
*) Точнее, применяя к разности
«Р/С*. V1-T-Oy1.....Ул + 6у„) —срг(х. у,.....у„)
левых частей уравнений щ (х, уу + Sy1.....у„ + бу„) = 0 и ср/ (х, ylt ..„ у„)=0
формулу Тейлора, следовало бы писать
У-1
где Ri имеют порядок выше первого относительно буу(/в1, 2, я). Однако, как нетрудно проверить, члены Rt не окажут существенного влияния на дальнейшие рассуждения, так как при вычислении рариацнн функ» ционала нас интересуют лишь члены первого порядка относительно by, (J=I1 2.....п).
25»
380 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ HA УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ [ГЛ. 9
И здесь пока нельзя применять основной леммы ввиду того, что вариации Oy^ не произвольны. Выберем т множителей K1(X), X2(х).....Кт(х) так, чтобы они удовлетворяли т уравнениям •
или
т
<?уу ^7- dx dy'j
Эти уравнения образуют линейную по отношению к X1 систему с определителем, отличным от нуля,
D (фь Ф2.....фт) , д.
?> (уї. у2.....ут) '
следовательно, эта система имеет решение
X1(X)1 X2(X).....Хт(х).
При таком выборе X1 (х), A2(х), .... Хт(х) основное необходимое условие экстремума
принимает вид
/ І ^)
Так как для функций уь у2, уп, реализующих экстремум функционала v, это функциональное уравнение обращается в тождество уже при произвольном выборе 6у;-(j = т-j- 1, m-j-2, п.), то теперь можно применить основную лемму. Положив по очереди равным нулю все буу, кроме одного, и применяя лемму, получим
Fh~~dT F*y) = 0 (/= «+ 1. « + 2.....я).
Принимая во внимание полученные выше уравнения
- ph-4xFl'j=° ^=1-2.....^
окончательно будем иметь, что функции, реализующие условный экстремум функционала v, и множители ЯДх) должны удовлетворять
S H
системе уравнений F* .
связи вида <р(х, V1)-О
381
-+-F ¦ = 0 dx у,
(j=U 2, .
п).
(fi(x, yv у2.....У„)=0 (/=1. 2.....т).
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками А(х0, у0, Z0) и В(хь ух, Zx) на поверхности q> (х, у, z) = 0 (см. задачу о геодезических линиях, стр. 282). Расстояние между двумя точками на поверх-, ности определяется, как известно, по формуле
X,
I = fY\ + y>* + z'2dX.
В данном случае надо найти минимум / при условии <р (х, у, z) = 0. Согласно предыдущему берем вспомогательный функционал
X1 _
l* = f [Vl + У'2 + г'2 +I (X) ф (х, у, z)\ dx
и для него пишем уравнения Эйлера
d _/
X (X) фу -Л(х)Фг-
dx Yl+ у'*+ г''
_d__г'
dx Yl+y'2 + z'2
= 0:
:0;
q,(x, у, 2) = 0.
Из этих трех уравнений определяются искомые функции у = у (х) И Z=Z (х),
на которых может достигаться условный минимум функционала v, и множитель Х(х).
Пример 2. Пользуясь принципом Остроградского — Гамильтона (см. стр. 320), найти уравнения движения системы материальных точек массы Ші(і= 1, 2, п) с координатами (Хі, у;, zt) под действием сил, имеющих силовую функцию — U, при наличии связей
'<fj(t, Xx, X2,
хп. Уі, У і, ¦¦ 0=1, 2, ..
Интеграл Остроградского — Гамильтона
h
v = J (T — U) dt
и
в данном случае имеет вид
t\ г
Уп. zx, Z2, т).
zn) = Q
dt,
382
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
а вспомогательный функционал
/=1
h L i = l
л.
Уравнения движения будут уравнениями Эйлера для функционала v*. Они будут иметь следующий вид:
"ЧУ і
ТуТ + ^^^ІуТ1
/=1
TTl1Z1 = —
/ = 1
(і = 1, 2, л).
§ 2. Связи вида , у2, j>„, у'2, у„) = 0
