Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
dH дН dyt ^ on aqt ¦
dx Zd dy, dx 2d да, dx '
Ы\ 1 ішї 1
дН dqt
370 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [ГЛ. 3
d tdv\ dx \~daj
d'v -r-, d2v Oy1 d2v Л o2v dH
dxda
dy.da dx dxda ' ^ dy, da da.
7=1 I J=I I 1
Su-V on dy-ТаЖ- (8Л0)
В силу уравнений (8.8) получим
4^- = 0. H = C
ах
вдоль интегральных кривых системы (8.8).
Для простейшей задачи этот первый интеграл уже был получен на стр. 303.
Пример 1. За к'о н сохранения энерг ни. Функция
H = ± ^q1-[F)
i = l
для функционала
f(T-u)dt, г= jr^(*?+y?+i?),
где сохранены обозначения примера 1 стр. 320 (T — кинетическая энергия системы материальных точек, U — потенциальная энергия), имеет следующий вид:
H = ^Пі(х\+у\ + г*)-(Т-1Г> = Т + и i=l
— полная энергия системы. Применим принцип стационарного действия. Если потенциальная энергия U не зависит явно от t, т. е. система консерва-
тивна, то уравнения Эйлера для функционала J (T — U) dt имеют первый
интеграл H=C T+ U= С.
Итак, полная энергия консервативной системы остается при движении постоянной.
Интегрирование канонической системы (8.8) равносильно интегрированию дифференциального уравнения в частных производных
?+"(*»-&)-•¦ ім>
где
и I dv \ и ( dv dv dv \
н\х-у- -dy-)-H(x-у"У2.....У" IyT' Зут)'
Уравнение (8.9) называется уравнением Гамильтона—Якоби. Если известно однопараметрическое семейство его решений
OV
v(x, ys, а), то известен и первый интеграл — = ? системы (8.8), ?— произвольная постоянная. Действительно,
§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА 371
Дифференцируя тождество получим
d2v _ у дН d2v
дхда~ Li dqs dysda K°-u)
и, подставляя (8.11) в (8.10), получим в правой части (8.10) тождественный нуль. Итак,
dx [да ) — U'
откуда
Следовательно, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби
v = v(x, yv у2.....у„, O1, Ci2.....а„),
то известно и п первых интегралов системы (8.8):
-J^ = P1- (/=1,2.....ft). (8.12)
Если якобиан системы (8.12) отличен от нуля
oyу Oa1 '
то система (8.12) определяет у,- как функции остальных аргументов:
Уі — Уі(х, O1. a2.....a„, ?j, ?2.....?„) (8.13)
(/=1, 2.....»).
Тем самым получено 2/г-параметрическое семейство экстремалей. Можно доказать, что (8.13) является общим решением системы уравнений Эйлера, а функции
Уі(х, O1.....a„, ?u .... ?„)
и
dt> (дг, у,, a,)
y^-yw (/=1,2.....«)
являются общим решением системы (8.8).
Пример. Найти уравнение геодезических линий на поверхности, на которой элемент длины кривой имеет вид
ds2 = [ф, (X) Ar Фг (у)} (dx2 + dy2),
372 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА [ГЛ. S
т. е. найти экстремали функционала
Так как
S = J V[Vi (*) + <p2(y)](l + y'2)dx
Xo
н= у^х2±^у)- = ^л*) + к(у)Гї^, Vi + У2
У'
-Г* Н* + д* = щ(х) + ^(у),
* Шу
то уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
ду\2 ду
или
(-ж)2+(т^> =ф«(*)+ф»(у)
(-?)2-ф. W=?2(y)-(-g-)2.
Для уравнений такого типа (уравнений с разделенными переменными)
ф'(*-?г)=ф'(* 17)
легко находится первый интеграл. Полагая
или
¦щ- = 1^<Р2 (У) — а.
находим
W = JV<Pi W + adx-f J J^p2 (у) — a dy,
следовательно, уравнение геодезических линии -^- = р в данном случае имеет вид
dy
Г dx f.
Уъ (У) —a
Замечание. К уравнению Гамильтона — Якоби можно прийти и из иных соображений. Рассмотрим центральное поле экстремалей с центром в точке А (х0, у0) для функционала
¦V Iy(X)] = f F(x, у, y')dx.
Xt
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 8 373
Исключая q, получим
dv дх
= -н{х, у, ^).
Итак, функция ¦W(X1 у) является решением уравнения Гамильтона — Якоби. Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для функционала
х,
fF(x, yv у2, .... уи, у{, у'2.....уп)dx.
х,
Задачи к главе 8 Исследовать на экстремум функционалы:
о
1. V [у (X)] = f (ху' + У'2) dx; у (Q) = 1; у (2) = 0.
о
а
2. f [у(х)] = J(y'24-2yy' — 16y2)rfx; а>0; у (0) = 0; у(я) = 0.
о
3. V [у (X)] = f у' (1 + dx; у (-1) = 1; у (2) = 4.
-1
2
4- V |у(х)] = f y'(\+x*y')dx; У (1) = 3; у (2) = 5.
і
2
5. V [у (X)] = Jy'(I +xY) dx; у (-1) = у (2) = 1.
6. о [у (X)] = f (4у2_/2-|-8у)^х; у (0) = -1; у (-J)=O.
о
2
7. V [у (X)] = J (х^у2 + 12у») dx; у (1) = 1; у (2) = 8.
На экстремалях поля функционал v[y(x)] превращается в функцию v(x, у), координат второй граничной точки В(х, у). Как было указано на стр. 370,
OV г ., dv
1-==-Н(х, у, q), -^=д.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 1
. „ I 1
еК
о
_я 4
9.v[y(x)] = f (y2 — y'2 + Gysln2x)dx; у(0) = 0; у [^j = 1
о
Г dx
Ю. v[y (X)} = J у-; у (0)=-0; у (Jt1)-у,; *, > 0; у,>0.
6
X1
П. V[у (X)}= I ~; у (0) = 0; у (jr1)«у,; X1 > 0; у, > 0.
J у'
0 '
2
12.Vb(X)I=[^dX; у(1)=1; у(2) = 4.
1 у
з
13. г/ [у (л)] = f (\2ху + у'2) dx; у (1) = 0; у (3) = 26.
