Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Подставив X = 1,5 в выражение 4 - cos2-^p, получим:
4 - cos2 -^p = 4 - cos2 -у- = 4 - cos2 ^2к + j = 4.
Следовательно, х = 1,5 — корень данного уравнения. Ответ: 1,5.
Пример 5. Зарплату повысили нар%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?
Решение. Пусть исходная зарплата составляла а рублей. Тогда после первого повышения она стала равна a ^l +-^qJ рублей. После второго повышения (на 2р%) зарплата стала равна
й(1+™) + а(1+то)'™=,,(1 + т1о)(1 + -^)ру6лей-
По условию задачи эта величина равна 1,32«.
Получаем уравнение: a ^ 1 + -^- j ^1+ -j^j = 1,32«.
Его корнями являются числа -160 и 10. По условию задачи подходит только второй корень. Тогда 2р = 20%. О т в е т: 20.
74
Пример 6. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?
Решение. Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит, в них содержится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет 140 • 0,02 = 2,8 (кг). В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляют уже 100% -93% = 7%. Следовательно, масса подсушенных грибов равна
2,8-100 хл / \ -2—^— = 40 (кг).
О т в е т: 40.
Пример 7. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток — 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.
Решение. Условие задачи для наглядности изобразим на рисунке.
золото 230 г медь 20 г
золото 240 г
медь 60 г
X г
(300-*) г
230
Концентрация золота в первом сплаве равна 2зо + 20 = Поэтому
во взятом куске первого сплава содержится 0,92х граммов золота. Аналогично, концентрация золота во втором сплаве равна
240 60 = П°ЭТ0МУ 380 взятом куске второго сплава содержится 0,8(300 - х) граммов золота. Поэтому в полученном куске нового сплава содержится 0,92* + 0,8(300 - х) = 240 + 0,12л: граммов золота. Поскольку масса нового сплава по условию задачи составляет 300 граммов, то концентрация золота в куске в 300 граммов равна
75
240+ 0,12л: ^ о/0/ т, --* "° Условию эта концентрация составляет 84%. Имеем
240+ 0,12л: .лл Q/ ~ уравнение---= Отсюда находим
80 + 0,04х = 84; 0,04* = 4; х= 100. Итак, масса куска, взятого от первого слитка, составляет 100 граммов.
Ответ: 100.
Пример 8. В колбе было 200 г 80%-го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60%-ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?
Решение. Пусть из колбы было взято X граммов 80% спирта, а затем долито такое же количество воды. Тогда «чистого» спирта в этих X граммов было 0,8*. Поэтому в колбе осталось 0,8(200 -х) граммов «чистого» спирта. Отсюда процентная концентрация спирта, после
доливания X граммов воды, стала равна-^—¦—100, что по условию задачи составляет 60%. Получаем уравнение 200.0,8о-0,8х>100 = 60
Отсюда находим: 200 • 0,8 - ОД* = 120; 200 • 0,8 - 120 = ОДх; 40 = 0,8х; X = 50.
Поскольку масса х взятого 80%-го спирта была равна массе добавленной воды, провизор добавил 50 граммов воды.
О т в е т: 50.
Пример 9. Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых девятнадцати членов равна 475. Найдите сумму пятого, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.
Решение. Почти любую задачу на арифметическую и геометрическую прогрессию можно решить, если записать условие задачи, используя в качестве неизвестных первый член прогрессии O1 и разность (соответственно, знаменатель) прогрессии. То есть для решения задачи фактически требуется знание формул п-то члена арифметической прогрессии и суммы первых п ее членов:
лх 1 а\+ап 2ax + {n-\)d ап = O1+ (w- l)d ViSn = —--п =-ті--п,
76
и формул п-то члена геометрической прогрессии и суммы первых п ее членов:
Посмотрим на условие нашей задачи. Из условия имеем
2а< + ISd
а7 = ах + 6d = 19, S19 = --19 = 475.
Таким образом, требуется решить систему уравнений
[ ах + 6d = 19,
[(^1 + 9б/) 19 = 475.
Проверим, делится ли число 475 на 19, чтобы, если повезет, упростить второе уравнение. 475:19 = 25. Повезло! Сокращаем на 19 и получаем систему
( ax + 6d = 19, [A1 + 9d = 25.
Вычитаем из второго уравнения системы первое уравнение. Получаем систему
Г + 6of = 19, J ві = 7,
[3rf = 6 ~ \d=2.
Отсюда искомая сумма
аъ + а12 + я20 = Ъах + (4 + 11 + 19) d = 3-7 + 34-2 = 89. О т в е т: 89.
Пример 10. Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.
Решение. Из условия задачи следует, что d < 0, 2а< + 6d
S7 =----7 = ?, аъ + а7 — 18, O3-O7 = 45. Если считать а3 и а7
корнями квадратного уравнения, то их сумма равна 18, а произведение равно 45. По теореме, обратной теореме Виета, находим а3 = 3; а7 = 15 или наоборот, O3 = 15; а7 = 3. Первая пара соответствует положительному значению разности d, а вторая — отрицательному. Значит, пара аъ = 3; а7 = 15 не подходит, а пара аъ = 15;
