Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
15. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа
а^а- 2 - 5 и 2а2 + 2Aa^a -2-а3 - 131 являются решениями неравенства 1Og2* _ t2 (log5(2x2 - 41* + 200)) > 0.
16. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа аУЗа - И - 5 и Wa2 + 20«i/3a - И - За3 - 93 являются реше-
ниями
неравенства log0^-2 ^Qg4 ^y3J2,12-)j < °-
50
17. Найдите все корни уравнения 1Ox3 - 63х2 + 48х- 9 = 0, при подстановке каждого из которых в уравнение
(7х - 1,1) sinz/ + - 9 =
= {х + 3,7)г/2 + ]/777 - 100*2 + 160* - 169 * cos2# получится уравнение относительно г/, имеющее более одного корня.
18. Докажите, что система уравнений
Зх3+13х2 + 20х+14 = 0, " (6х + 17)* - 5 = + 2х+у. ]/Эх{х + З)2 - Зх2 + 10х + 49
имеет единственное решение.
Ответы к заданиям высокого уровня сложности раздела «Выражения и преобразования»
Номер задания 1 2 3 4 5 6
Ответ 6 (6; 7] [2; 6] (-2-/ЇСГ, 2-/ЇСГ) (0,1) (-2,2)
Номер задания 7 8 9 10
Ответ (1,15] 9 (11,+оо) [1,1,5] U [2,5; 3]
Номер задания 11
Ответ (-оо, 1) и (1,2) U (4; 5) U (5;+оо)
Номер задания 12 13
Ответ (-оо, -log25) U (-log23, О)
Номер задания 14 15 16 17
Ответ (і/З, 9)и(81,+оо) 6 5 0,3
51
§ 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Для выполнения заданий этого раздела нужно владеть определением корня уравнения (решения неравенства), уметь решать простейшие уравнения (тригонометрические, показательные и логарифмические) и простейшие неравенства (показательные и логарифмические). Эти умения позволят успешно применять общие методы решения уравнений (метод замены, метод разложения на множители, графический метод) к тригонометрическим, показательным и логарифмическим уравнениям.
Решение уравнений (неравенств) любого вида сопряжено с проведением тождественных преобразований различных выражений, входящих в заданное уравнение (неравенство). Владение формулами для тождественных преобразований выражений и теоремами о равносильных уравнениях (неравенствах) поможет в поиске рационального решения.
Кроме заданий, требующих аналитических методов решения уравнений, неравенств и систем уравнений, предлагаются задания на применение графического метода.
3.1. Задания базового уровня сложности
Задания с выбором ответа Тригонометрические уравнения Пример 1. Решите уравнение cos2x =-1.
Решение Данное уравнение имеет вид cos t = -1, где t = 2х.
3) -J + тш, п є Z;
1) тш, neZ\
2) у + ппу neZ; 4)у + 2тш, neZ.
52
Его корнями служат числа вида t = тс + 2кп> где n€Z. Следовательно, 2х = тс + 2кп или х = -^- + ли, где я є Z. Ответ: 2.
Комментарий. Типичная ошибка: при делении обеих частей равенства 2х = тс + 2 тс я на коэффициент перед переменной лг, учащиеся забывают разделить второе слагаемое (2кп) в правой части равенства.
Пример 2. Решите уравнение sin ^ = 1.
1) j + уя, w є Z; 2) J + тся, w є Z;
3) тс + 4тся, w є Z; 4) тс + 2тся, п Є Z.
Решение. Данное уравнение имеет вид sin^ = 1, где t = у. Его
корнями служат числа вида ? = у+ 2тш, где я Є Z Следовательно,
у = + 2тся или д: = тс 4- 4тш, где п є Z. Ответ: 3.
Комментарий. Типичная ошибка: при умножении обеих частей равенства у = у + 2 тс/г на 2 учащиеся забывают умножить второе слагаемое (2тш) в правой части равенства.
Пример 3. Решите уравнение 2sin2х— sin2x = cos2*. l)(-l)"? + $m, ot€Z; 2)(-l)"-? + fn, «€Z;
3)-g- + jA, teZ; 4)(-l)'-? + if/, /€Z.
Решение. 2 sin 2л: — sin2 дг = cos2*; 2sin2x = sin2* + cos2*; 2sin2x = 1; sin2* = -^-;
я TC
откуда 2л: = (—1) — + тс/г, где weZ. Разделив обе части последнего о
равенства на 2, получим х = (-1)"-^ + у я, где neZ. О т в е т: 2.
53
Решите самостоятельно 1. Решите уравнение sin2x = -1.
4 к 4
1) --j + тся, weZ; 2) -тс+ 471/2, w?Z;
3)-у + -^, rceZ; 4) тш, rceZ.
2. Решите уравнение cos-^-x = 1.
1) тс + 2тся, я Є Z; 2) 4тся, я Є Z;
3) 2тся, я є Z; 4) тся, я є Z.
т/Т
3. Решите уравнение sinx - = 0.
1) J + 2TC/2, я GZ; 2)(-1)" J+ тс«, hsZ;
3) j + тся, /г Є Z; 4) ± + 2тся, /г є Z.
4. Решите уравнение cosx - ^ = 0.
1) ± -Jj- + 2тся, я є Z; 2) |- + 2тся, я є Z;
3) ± 4 + ля, я є Z; 4) -5- + 2тся, я є Z.
5. Решите уравнение 2 cosx = "/J.
l)±^ + 2nn,neZ; 2)±^ + 2пп, neZ;
О О
3)(-1)"|- + 2тш, weZ; 4)(-1)" + пи, и є 2.
6. Решите уравнение cos(ji + x) = sin-2-
1) + j + nm, m€Z; 2)2nl,leZ;
3) л + 2яя, и є Z, 4)| + лА, *€Z.
7. Решите уравнение 2 sinx cosx = •
l)±| + 7ir, reZ; 2)(-1)"--?+ |-и, я Є
3)(-1)*-| +it*, keZ; 4)±~ + 2nl, IeZ.
8. Решите уравнение cos2x - sin2* = 0,5.
l)±4 + roi, n є Z; 2)±4 + 2яя, и є Z
3) ± 4 + тш, п є Z; 4) ± 4 + 2тся, я є Z
О D
vT
9* Решите уравнение cosx- -~- = 0.
1)(-1)я? + яя, WGZ 2)± j + 2nn, neZ
3) -j + 2тш, w є Z 4) ± -j + кп> neZ
10. Решите уравнение sinx- у = 0.
1) ± I- + 2кп, neZ 2) у + 2тсгг, я є Z
3)(-1)" |- + 7Ш, rc?Z 4) Ч- 2тсгг, п
11. Решите уравнение cos2x+ 1 = 0.
1) Kn1 neZ 2) у + ттгг, п Є Z
3) j + ттгг, я Є Z 4) —-j + тш, я є Z
12. Решите уравнение cosy = -'у-.
1)±у + 4тш, я є Z 2)±j + nn, n?Z
3) (-1)" f + ™, и GZ 4) (-1)" ? + 2тш, и
13. Решите уравнение tg3x = Jy-.
1) у + 37С/2, ?г Є Z 2) -jy + у-я, я Є Z
