Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Денищева Л.О. -> "Единый государственный экзамен 2009. Математика. " -> 11

Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. Единый государственный экзамен 2009. Математика. — М.: Интеллект-Центр, 2009. — 272 c.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка): mathekzege2009.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 68 >> Следующая

Пример 1. При каком значении х из множества {1, 2, 3,..., 98, 99} значение выражения
ближе всего к 73?
Решение. Выполним тождественные преобразования данного выражения:
_ {х+2)-х__jx(x + 2)"___Vx+2" =
ІX(х +2)1 (х+2)-2-]/х(х + 2)' + х i/x+ 2'+ Yx _ (х+2)-х___Vx+2" = Vx+2" =
_ Vx+2'(Vx+2'+Vx) _ л x + i/x(х + 2)" 2 + 2
Так как при х > 0 х2 < х(х + 2) < (х+ I)2, то данное выражение больше, чем 1 + X и меньше, чем 1 + X + 0,5. Следовательно, при X — 12 найденное значение выражения лежит в интервале (73; 73,5). При X > 73 все значения выражения больше 74, а при х < 71 — меньше 72,5.
О т в е т: 72.
40
Рассмотрим еще один пример. Формально, речь в нем идет об области определения функции, а более содержательно — о решении неравенства с параметром. Мы помещаем этот пример в параграфе «Выражения и преобразования» по той причине, что первые два шага в решении этого примера связаны именно с преобразованиями алгебраических выражений. Без проведения этих преобразований просто бессмысленно говорить о дальнейшем решении неравенства, об отборе значений параметра и т.д. Вообще, такого рода сочетание различных умений в различных возникающих при решении одной задачи ситуациях, весьма характерно для задач уровня С5.
Пример 2. Найдите все значения а, при которых область опреде-
ления функции у = lg[ax+2-x og*a + аА-х5 - [ух) -\Va) )
содержит ровно одно целое число.
Решение. 1) По определению логарифма xeD(y) в том и только
том случае, когда ах+2-х og*a + аА-х5 - [ух ) -{Vа) > О,
х > О, X Ф 1.
Проведем преобразования левой части неравенства
oi / ,_. \ 10 -i- 2jclog„a , ^_, V18
a* + 2.x3iog,fl + а4.х5_(уї) 8* =
= ах-а5 + X5-а4 — х5-ах — а4-а5.
2) Знак алгебраической суммы четырех выражений, как правило, находится после разложения этой суммы в произведение двух сомножителей. Так оно получается и в этом случае
ах-а5 + х5-аА - х5-ах- а4-а5 = (ах - аА)(а5 - х5). Во втором сомножителе поставим для симметричности переменную на первое место. Значит, х Є D(y) <=> (ах - аА) (х5 - а5) < 0. На этом собственно преобразования выражений закончились.
3) Если а = 1, то решений у неравенства (ах — аА) (х5 — а5) < О нет. Если 0 < а < 1, то показательная функция с основанием а убывает, а степенная функция с показателем 5 возрастает. Значит, если х — натуральное число, большее 4, то первый сомножитель отрицателен, а второй сомножитель положителен. Поэтому все числа 5, 6, 7,... лежат в D(y), т. е. такие а не удовлетворяют условию.
4) Пусть 1 < а. Тогда показательная функция с основанием а и степенная с показателем 5 функция возрастают. Значит,
41
(а* - а4) (х5 - а5) < О <=>
ах > а4, X5 < а5
ах < а4, Xs > а5
X > 4,
X > а
X < а
X < 4,
~х € (4; а), X є (а; 4)
5) Для каждого конкретного а область определения состоит из одного интервала. При а = 4 область определения пуста. Если а меньше 4, то в интервале от а до 4 будет лежать ровно одно целое число 3 только при 2 < а < 3. Если а больше 4, то в интервале от 4 до а лежит ровно одно целое число 5 только при 5 < а < 6.
Ответ: [2;3) U (5; 6].
В ЕГЭ-2004 последнее задание С4 в общих чертах напоминало задание из ЕГЭ-2003: после тождественных преобразований ситуация сводится к неравенству с параметром и основные тонкости связаны с анализом решения этого неравенства, т. е. к отбору нужных значений параметра. Принципиальных отличий три. Во-первых, в условии сразу стояло неравенство, т. е. речь не шла об области определения некоторой функции. Во-вторых, неравенство не содержало каких-либо показательных, логарифмических, иррациональных, тригонометрических и т. п. выражений. Неравенство с самого начала было чисто алгебраическим, точнее — дробно-рациональным. Наконец, в ЕГЭ-2003 использовались различные дискретные характеристики числовых промежутков, так или иначе связанные с множествами натуральных или целых чисел: «...лежит ровно 17 двузначных натуральных чисел ... произведение целых чисел из множества ... четно, но не кратно четырем ..>, и т. п. В ЕГЭ-2004 были использованы характеристики числовых множеств, связанные с их длиной, т. е. характеристики непрерывного типа. Например, «Найдите все значения параметра а, при
42
которых множество ... содержит какой-нибудь отрезок длиной 3, но не содержит никакого отрезка длиной 4». Или, «Найдите все значения параметра а, при которых в множестве ... можно расположить два отрезка длиной 2 и длиной 7, не имеющих общих точек».
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых мно-
Aa2
жество решений неравенства а2 + 8а < —— х(х - 2а - 4) содержит
какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.
Решение. 1) Все сгруппируем в левой части
{а2 + 8а)X-4а2+ X2 {х-2а- 4) q
X
Проведем тождественные преобразования числителя.
(а2 + 8а)х-4а2+х2(х-2а-4) = х*-(2а + 4)х2 + (а2 + 8а)х-4а2 = = X2 (х - 4) - 2ах(х - 4) + а2 (х - 4) = (х - 4) (х2 - 2ах + а2) =
= (х-4)(х-а)2.
2) Значит, исходное неравенство равносильно неравенству
(х-4) (х-а)2 0
X
Так как {х - а)2 > 0, то получаем систему
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed