Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. 1) Преобразуем подкоренное выражение во втором уравнении системы
А + 16 + 5Wl - Sx) = 4 + 16*+5*2 ~25*3 = 25х3-5х2-16х-4
XX X
Число х=1 является корнем числителя: 25- 5-16-4 = 0.
46
После деления на х — 1 получаем 25х3-5х2- 16х-4 = (х- 1)(25*2+ 20*+ 4) = (х-1)(5х + 2)
25х3-5х2- 16х-4 25х3 - 25х2
х-1
25х2 + 20х + 4
2Ox2 - 16х 2Ox2 - 2Ox
4х- 4 4х- 4
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. -(х-1)(5х + 2)2 ^ 0 ^ (х-1)(5х+2)2 < 0 ^
X^ X^
2
<=> X = — -=• или 0 < X < 1.
5
9
2) Проверим, что X= - — корень многочлена 15х3 + 36х2 + 22х + 4.
Для этого подберем числа А и В так, чтобы
15х3 + 36х2 + 22х + 4 = (5х + 2) (Зх2 + Ax + В).
Если А = 6, В = 2, то получаем тождество
15х3 + 36х2 + 22х + 4 = (5х + 2) (Зх2 + 6х + 2),
которое легко проверить, раскрывая скобки. Корни 3 3^ второго
множителя отрицательны и не входят в ОДЗ правой части второго уравнения. Поэтому данная система может иметь решения только при
5-
3) Тогда 9sin^ = 9sin(--y-) = -9,
2
cos((5x + \)у) = cos(-z/), —-1 = -6 и второе уравнение системы имеет вид
-9 + cos?/ = у{у - 6), cosZ/ = (z/ - 3) . Если 2 < у < 4, то cosZ/ < 0 < {у - 3) .
2
Если Z/ < 2 или у > 4, то cosz/ < 1 < (z/ - 3) .
47
Следовательно, и при х = - — данная система уравнений не имеет решений.
Отметим, три момента. Во-первых, за время проведения эксперимента по введению ЕГЭ в Части 3 впервые появилась задача на доказательство, в которой не надо было приводить никакого ответа. Во-вторых, все задачи С5 на ЕГЭ-2007 делились на три типа: система имеет более одного решения, система имеет ровно один корень, система не имеет корней. В последнем случае шаг 2) решения можно оформить совсем по-другому, не проверяя того, что изолированная точка, в которой определена правая часть второго уравнения системы, является корнем первого уравнения. Вот как это может выглядеть в приведенном примере. 2
«...X = -у или 0 < X < 1.
2) Если X > О, то 15х3 + 36х2 + 22х + 4 > 0. Значит, есть един-2
ственное число X = -у, при котором имеет смысл второе уравнение
и которое при этом может быть корнем первого уравнения, т.е. данная
2
система может иметь решения только при X = — у ...»
В-третьих, выше в шагах 1) и 2) решения приведены два различных способа разложения кубического многочлена в произведение линейного и квадратичного многочленов. Это «деление уголком» и метод неопределенных коэффициентов. Кроме этого тут, разумеется, возможен и метод группировки, и использование схемы Горнера. Наконец, допустимо оформление просто с предъявлением процедуры раскрытия скобок. Например, в шаге 1), выше
«...Так как
48
(х- 1)(5* +2)2 = (х- 1)(25*2+ 20*+ 4) = 25х3 - 5х2 - 16х- 4,
25х3-5х2-16х-4 ^ л (х- 1)(5х+2)2 ^ л 2
то--> 0 <=>----— < 0 <=> X=--=- или
X X 5
0 < X < 1.»
Решите самостоятельно
1. Найдите наибольшее целое X1 при котором значение выражения
(¦JEEE-Л
\V -l:((*(* + 2) + l).0,25-(*(* +2)) °'5) меньше 0,99.
2. Найдите все значения а при которых сумма целых чисел, принадлежащих области определения функции
у = (в-+1.х^ + в3 + 5^-(^),в + 2*^-У?5'Г,
больше 10, но меньше 20.
3. Найдите все положительные значения а, при которых область определения функции
у = (a* + * + aA + 5log°x - *5+*bg,fl _ (|/^)27)0,5 содержится в некотором отрезке длины 2.
4. При каких значениях а выражение 2 + cosx(3cos.r + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?
5. При каких значениях а выражение (sinx)18^111^-02 больше вы-
ражения 10 100 ' 0/ при всех допустимых значениях х?
п „ /Л , l4logs(l-|jc|)-|e-l|
о. При каких значениях а выражение (1 — IxIj
4-o2-log25(l+^-2k|)
больше выражения 0,2 при всех допустимых
значениях х?
п гт і /4 + 3|х|\ , /6 + 5|х|\
7. При каких значениях а сумма logfl^ 1 + J и logfl^ 1 + J
больше единицы при всех допустимых значениях X?
8. При каком целом положительном х значение выражения
х-3 ' 1 + (х - I)Vx2 -2х- 3-х2 , пссъ
—ГТ--1- V . ==;- ОЛИЖе ВСЄГО К 0,66?
x+l х2-(х + 3)1/х2-2х-3 - 9
1 -COs2Ji:) + log7a
49
9. Найдите все значения параметра а, при которых множество
9-(я + 6)х . За /3 Л л решении неравенства-у——— < — I--2 1-1 содержит чис-
X X \ X J
ло 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.
10. Найдите все значения параметра я, при которых в множестве решений неравенства х (х — 2а — 4) < — а2 — 8а нельзя расположить два отрезка длиной 1,5 каждый, которые не имеют общих точек.
11. Найдите все значения параметра а, при которых в множестве
6а2
решений неравенства х(х - 2а - 6) + а2 < —— 12а можно расположить два отрезка длиной 1 и длиной 4, которые не имеют общих точек.
12.Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее из двух чисел Ъ = Аа + 23 + а - 3 и с = 2ъ~а - А~а - 9 меньше 6.
13. Найдите положительные значения а, при каждом из которых наименьшее из двух чисел
Ъ = 6а2 (2а~2 - а) - а6 и с = а~6 - 6а~3 + 1
не меньше -4.
14. Найдите все значения а > 1, при каждом из которых наименьшее из двух чисел
Ь = 21ogfl (27а) - log2 3 + 1 и с = log2; а - log3 (9а«) + 6 больше —4.
