Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
3)^ + кп, neZ 4) + яя, я є Z
D IQ
14. Решите уравнение sin-j = ¦^-.
l){-l)n^ + nn, n€Z 2)±^ + 2ли, и€ї
3)(-1)"4р + 4ял, neZ A)±^- + 8nn,nel
15. Решите уравнение tg5x = -^3.
1)—J + уя> neZ 2)-^ + 5nn,neZ
3) —і- + тся, я Є Z 4) -^ + кп, neZ
Задания базового уровня сложности с кратким ответом Показательные уравнения
з — 1
Пример 4. Решите уравнение 25 * = у. Решение.
Используя свойство степени (ап)т = атп, получаем:
253-* = (52Г* = 52(3-*>. Так как ~ = 5~\ то 52(3_дс) - 5"1. Степени с одинаковым основа
нием равны, значит, равны их показатели:
2(3-Jt) = -1; 6-2х = -1; -2х = -7; х = 3,5. Ответ: 3,5.
Пример 5. Решите уравнение 2Х~1 + 2Х+1 = 20. Решение.
2x-i + 2x+i = 2(j. Jf + 2 2х = 20; 2* +4-2* = 40; 5-2* = 40; 2* = 8;* = 3.
Ответ: 3.
Решите самостоятельно
16. Решите уравнение 92*"1 = 81.
V 0,1*- 1
= 43.
17. Решите уравнение (^j
I 1 ч0,4* -2
18. Решите уравнение I-^=-1 =125.
\0,5*+1
J = 8.
20. Решите уравнение 81 93х + х-93х = 0.
56
21. Решите уравнение х-6 л-36 6зл = 0.
22. Решите уравнение 7Х+1 - 5-7х = 98.
23. Решите уравнение 3*+2 - 5-3* = 324.
24. Решите уравнение Kf + -17-10*+2 = 83.
25. Решите уравнение 7-3*+3 + 3* + 2 = 22.
Логарифмические уравнения Пример 6. Решите уравнение log5(2x) = log536 - log54. Решение. Используя свойство логарифмов, получаем:
log5(2x) = log5-^ или log5(2x) = log5 9.
Полученное уравнение равносильно уравнению їх = 9, следовательно, X = 4,5. Ответ: 4,5.
logo X
Пример 7. Решите уравнение 2-3 = 7х - 13
Решение. Используя основное логарифмическое тождество, получаем уравнение равносильное данному: 2х - 7х- 13 или 5х = 13. Следовательно, х = 2,6.
Ответ: 2,6.
Решите самостоятельно
lOgg Jf
26. Решите уравнение 8-3 = 13х — 6.
27. Решите уравнение 3- 10lg* = Sx- И.
28. Решите уравнение log5x = log5 6 + log5 3.
29. Решите уравнение log6x = log65 + log64.
30. Решите уравнение log5x + log53 = log5 12.
31. Решите уравнение log7x+ log76 = log718.
32. Решите уравнение log9(20x- 16) - log94 = log9 18.
33. Решите уравнение log2(15* - 10) - log2 5 = log213.
57
Иррациональные уравнения
Пример 8. Решите уравнение ~]/х2 + 5л: + 5 = х + 2. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: X2 + 5х + 5 = х2 + 4х + 4.
После преобразований получим х = — 1. Проверим, является ли число —1 корнем исходного уравнения:
і/(-1)2 Ч- 5•(-I) Ч- 5' = -1 + 2, /Г = 1. Последнее равенство верно, следовательно, -1 — искомый корень. Ответ: —1.
Пример 9. Решите уравнение х — 3 = т/5 — х. Решение. X - 3 = i/5 - (х - З)2 = 5 - лг, .г2 - 5л: + 4 = 0; Jt1 = 1; X2 - 4.
Проверка. 1 - 3 - "|/5 - 1; -2 = 2— равенство неверно, значит, 1 — не корень.
4 — 3 = "|/5 — 4; 1 = 1— равенство верно, значит, 4 — корень. Ответ: 4.
Решите самостоятельно
34. Решите уравнение ]/2х2 - 7х- 3 + л: = 3.
35. Решите уравнение У2х2 + 2х - 3 + 1 = -л:.
36. Решите уравнение У15л:2 + 2л: + 8'+4л: = 0.
37. Решите уравнение У 16л:2 - 9л: + 54 + 5л: = 0.
38. Решите уравнение "|/3 - 2л: = -х.
39. Решите уравнение "|/2л:+ 7 = л:- 4.
40. Решите уравнение і/4л:2 - 27 = -л:.
41. Решите уравнение 1/64 - Зд:2 = -х.
42. Решите уравнение л: - 1 = І2х + 22\
43. Решите уравнение 5-х = УТТ~х.
58
44. Решите уравнение х^ 1 - 4х - 5 ]/1 - Ax = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.)
45. Решите уравнение х"]/4х- 1' + 2 ]/4х- 1 = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.)
Показательные и логарифмические неравенства
Пример 10. Решите неравенство 4х >
1)(-оо;-0,5]; 2)[0,5;+оо);
3) [-0,5;+оо); 4)(-оо;0,5].
1 —1 X Ix
Решение. Так как у = 2 и 4 = 2 , то исходное неравенство
равносильно неравенству 22х > 2"1. Функция у = 2х возрастающая, т. к. 2 > 1. Поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное, равносильно неравенству 2х > — 1, то есть х > —0,5. О т в е т: 3.
Пример 11. Найдите число целочисленных отрицательных реше-
\0,5л:-1
у) < 125.
1)6; 2)2; 3)5; 4)4.
\0,5*-1
у) < 125 равносильно неравенству
/ ^ ч 0,5л:- 1 / 1 ч-З 1 / 1 ч лг
1 5") ^ \ 5/ ' Поскольку у < 1, то функция у = I у J убывает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 0,5х— 1 > —3. Отсюда получаем лг > — 4. Целыми отрицательными решениями неравенства являются четыре числа: -4, -3, -2, -1. О т в е т: 4.
Пример 12. Найдите число целочисленных решений неравенства log0,5(*-2)>-2.
1) четыре; 2) пять;
3) бесконечно много; 4) ни одного.
Решение. Запишем правую часть неравенства как произведение -2-1 и воспользуемся тождеством 1 = logfla, при условии а = 0,5. Получим:
59
logons-2) > -2-1; log0,5(*-2) > -21og0>50,5;
bgo,5(^-2) > log0,50,5"2; log0>5(*-2) > log0>54.
Поскольку 0,5 < 1, то функция у = 1Og05* убывающая, поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное неравенство, равносильно неравенству 0 < х — 2 < 4 (условие 0 < х — 2 получено с учетом области определения логарифмической функции). Отсюда получаем 2 < X < 6.
