Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
88. На рисунке изображены графики функций у = f(x) и у = g(x), заданных на промежутке [—3; 6]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x) < g(x). 1)[-1;2] 2) [-2; 3]
3) [-3; -1] U [2; 6]
4) [-3; -2] U [3; 6]
69
89. На рисунке изображены графики функций у - f(x) и у = g(x), заданных на промежутке [—3; 6]. Укажите те значения X1 для которых выполняется неравенство f(x) > g(x). l)[-3;-2]u[-l;6]
2) [-3; 1] и [3; 6]
3) [1;3]
4) [-2;-1]
M
->
X
90. На рисунке изображен график функции у = J(X)1 заданной на отрезке [-6; 5]. Укажите те значения X1 для которых выполняется неравенство f(x) > 2.
i)[-6
2) [-6 3)[-3
-3]
-2] U [2; 4] 2] U [4; 5]
4)[2;3]
91. На рисунке изображен график функции у = f(x), заданной на отрезке [—4; 7]. Укажите те значения X1 для которых выполняется неравенство f(x) < -2. 1) [0; 2]
2) [-4
3) [-4 4)[-3
-2]
0] U [2; 7] -2]
< У
1- > >
\ 0 /
1 I X
N I
ч
Ответы к заданиям с выбором ответа базового уровня сложности раздела «Уравнения и неравенства»
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
Номер верного 1 2 2 1 1 3 2 3 2 3 2 1 2 3 1
ответа
70
Номер задания 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Номер верного ответа 3 2 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 3 4
Номер задания 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
Номер верного ответа 1 3 2 1 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 4
Номер задания 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
Номер верного ответа 2 4 4 2 4 1 1 4 3 2 1 4 3 1 1
Ответы к заданиям с кратким ответом базового уровня сложности раздела «Уравнения и неравенства»
Номер задания 16 17 18 19 20 21 22 23
Ответ 1,5 -10 1,25 -3,5 -81 36 2 4
Номер задания 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ответ -2 -2 1,2 5,5 18 20 4 3 4,4 5 -3
Номер задания 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Ответ -2 -2 -3 -3 9 -3 -4 7 3 0,25 0,25
3.2. Задания повышенного уровня сложности
Задания с кратким ответом
Пример 1. Найдите йаиболынее целое решение неравенства
({)* > X + 4.
Замечания.
Анализ неравенства показывает, что в левой его части записано показательное выражение, а в правой — многочлен первой степени. Из этого следует, что решение можно проводить функционально-графическим методом.
71
Наличие только одной точки пересечения графиков функций
Дх) = и g{x) = х + 4 следует из того, что первая функция убывает, а вторая возрастает на R.
Решение. Схематично изобразим графики функций Дх) = и g{x) = х + 4.
f А
X X
->
г
-1 0 1 X
Число X = -1 является корнем уравнения |д j = х + 4, так как
(т) =~1+4. График показательной функции расположен не ниже
графика линейной функции при х < —1. Наибольшим целым решением неравенства является число -1.
Ответ: —1.
Пример 2. Решите уравнение sin^ • cos^ • У16 - х2' = 0.
Замечания. Решение заданного уравнения упростится, если произведение, состоящее из трех множителей, заменить произведением двух.
Решение уравнения очевидно сводится к использованию условия равенства произведения нулю. При этом важно не забыть проверить, определен ли второй множитель при том значении аргумента, при котором первый множитель обращается в ноль.
72
Решение, sin • cos • т/16 - X2 = О
sinx"|/ 16-х2 = О
I х = я/г, 1 -4 < X < 4,
X = 4, X = -4
О,
я,
-я,
4,
-4.
Ответ: -4; -я; 0; я; 4.
Пример 3. Найдите сумму корней уравнения
4sin2 7яхсо82 7ях + sin2 (+ Ыкх] = } \ + cosf^ - 4rl
\ 2 1 +5xr) V 3 6 ;
принадлежащих отрезку [3; 5].
Решение. Прежде всего, отметим, что выражение, стоящее в правой части данного уравнения имеет смысл, если cos + ^
5кх ^ Л Snx
2~ 7t 0, и, значит, —--
т. е. sin—— 7t 0, и, значит, я/г, где /г Є Z. Таким образом, пере-
менная X не может принимать значения, равные у/г, где п — любое це-
Sx
лое число. Иначе говоря, число --- не должно быть целым.
Используя формулы приведения, данное уравнение представим в виде
5пх
4sin2 7яхсо82 7ях + cos214ях =
SlIl-
5пх
+ COS
/4тех _ 5к\
Із б у
Применив в левой части уравнения формулу синуса двойного аргумента, а затем основное тригонометрическое тождество, и сокра-тиц дробь в правой части, получим:
Aa1 14ях 5к\ 14тсх 5к\ л
I = I + cos(— - -g-J, т. е. cos[-j- - -g-j = 0.
^ 4лх Sk к . ^r-
Отсюда следует: ---g- = + я/г, где /г Є Z.
Далее получаем: х = \ + --п.
73
1 з
Из чисел такого вида отрезку [3; 5] принадлежат 3-^-, 4 и 4-^, но
2 13
число 4 не удовлетворяет условию X -^п. Итак, 3-j + 4 j = 8.
О т в е т: 8.
Пример 4. Решите уравнение ]/l6 + (2х- З)2 = 4 - cos2 -^p.
Решение. Функция у = + (2х — 3) определена при всех значениях ху т. к. 16 + (2х - З)2 > 0 при любых значениях х, причем наименьшее значение функции у = "/Ї61 = 4 достигается при 2х — 3 = О, т.е. при X= 1,5.
Так как 0 < cos21 < 1 при любом значении U 3 < 4 - cos2 ? < 4. Следовательно, равенство ]/і6 + (2х- З)2 = 4 - cos2 -^p может выполняться только тогда, когда значения обеих его частей равны 4.
