Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, учитывая, что получим
х {ехр [-5 \\ A (h) II du]} ^Х[х (0] < 1 {exp J |] А (*,) || dh),
10 ^0
(3-3.3)
где
t
А = \\т 4- [ M(f,) II Л,
/-*со Ц
и
t
A = linw i || A || dtx.
(->со Г J *0
Таким образом, все характеристические числа нетривиальных решений x(t)
линейной системы (3.3.1) содержатся в конечном отрезке [-А, А] С [-с, о].
Теорема Ляпунова доказана.
Замечание. Если матрица A (t) линейной системы (3.3.1) действительна и
некоторое комплексное решение ее
z - li (0 + г1з (0
(It(0 действительны; k=l, 2) имеет характеристический показатель
X [*] = *>
то существует действительное решение x = x(t) этой системы, имеющее тот
же характеристический показатель: ^[;с] = а.
В самом деле, так как
| [Si (0 + ih (Щ = а (0 [1, (0 + ih (t)],
то
ЩР- = АУ)ЬУ) (k = l, 2),
т. е. действительная и мнимая части комплексного решения г являются
решениями системы (3.3.1). Положим х = % ДО, гДе
3f.ll* (0] =тах х [1а (*)]•
k
§ 3] СПЕКТР ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 137
Так как
х[1*(0]^х[г]=<г11ахх[|*(0] (k-\, 2), k
то, очевидно, имеем
х К* (0] = *[*] = ".
что и требовалось доказать.
Без нарушения общности рассуждения можно предполагать,
что
Is (0 = Re*,
так как в случае необходимости можно использовать решение
i = -te(0 = &*(*)-&(0-
Изучим более точно структуру множества характеристических показателей
решений линейной дифференциальной системы с ограниченной матрицей A(t).
Лемма. Вектор-функции Х(Ь) (t) (6=1, ..., т), определенные на [f0, со) и
обладающие различными характеристическими показателями, линейно
независимы.
Доказательство. Пусть
l[x{k) {t)] = o.k (k=l, ..., т) и для определенности
а1 < а2 < • • • < ат' (3.3.4)
Предположим, что
т
2cftjc(ft)(0 = 0 ПРИ (3.3.5)
*=1
причем ср Ф 0, где ис9 = 0при q^>p. Тогда из соотно-,
шения (3.3.5) имеем
x^(t) = 2 [-^*(ft)(0]
и, следовательно, на основании следствия теоремы 2 из § 1 получаем
"р = X [*(Р) (01 < тах X [х(к) (01 = Vи *<р
что противоречит условию (3.3.4).
Таким образом, х(1> ((),..., х(т> (() линейно независимы. Определение.
Множество всех собственных характеристических показателей (т. е. отличных
от - оо и -f со) решений дифференциальной системы будем называть ее
спектром.
138 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. 111
Из приведенного выше замечания следует, что если матрица А (t) линейной
однородной системы действительна, то спектр ее может быть реализован на
множестве действительных решений.
Теорема. Спектр линейной однородной дифференциальной системы с
непрерывной ограниченной матрицей состоит из конечного числа элементов
*i<aa<...<am (т^п).
Доказательство теоремы непосредственно вытекает из леммы и того
обстоятельства, что линейная дифференциальная система порядка п имеет
самое большее п линейно независимых решений.
Заметим, что характеристические показатели а(/=1,..., т) нетривиальных
решений линейной системы
с постоянной матрицей А являются вещественными частями характеристических
корней матрицы А, т. е.
ау=ИеХу(Л) (/=1 ,...,т),
где \j = \j(A) - корни векового уравнения
det (А - \Е) - 0
с различными вещественными частями (гл. II, § 8).
Замечание. Нелинейная дифференциальная система может иметь спектр
произвольной природы, например, содержащий бесконечное множество
элементов.
Пример. Скалярное дифференциальное уравнение = In -v (t>0, х>0)
имеет общее решение
х = ect
и, следовательно, это уравнение обладает сплошным.спектром -со < а < со.
§ 4. Нормальные фундаментальные системы
Пусть в п-мерном пространстве задана линейная однородная система
§ = A(t)x, (3.4.1>
где A(t)?C [*0, оо), sup || A (t) || <оо и - оо < щ < а2 < ... <;
<^ат<^ оо (т =~:/г) - ее спектр, расположенный в порядке возрастания.
§ 4i
НОРМАЛЬНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
139
Как известно (см. [9], [10]), совокупность всех решений x = x{t) (t0s^t
<^оо) системы (3.4.1) представляет собой линейное пространство Ш"
(пространство решений), точками которого являются отдельные решения, а
любая фундаментальная система
Х(0 = { x(u> (0 К
состоящая из максимального числа линейно независимых решений xs (t) (s =
1, ..., л), служит базисом.
Пусть фундаментальная система X (t) содержит ns решений с
характеристическим показателем я5 (s=l,..., т), причем некоторые п" могут
быть и нулями. Величину
тп л
= S ns*s, (3.4.2)
S-1
где У^п5 = п, будем называть суммой характеристических показа-
5=1
телей системы X (t). Так как число характеристических показателей
линейной системы конечно, то существуют фундаментальные системы X (t) с
наименьшей суммой характеристических показателей, т. е.
rnina^. (3.4.3)
к
Такие фундаментальные системы и соответствующие им фундаментальные
матрицы будем называть нормальными (в смысле Ляпунова).
Определение 1. Фундаментальная система называется нормальной, если сумма
ее характеристических показателей есть наименьшая по сравнению с другими
фундаментальными системами.
Если матрица А (t) действительна, то для каждого характеристического
показателя as существуют действительные решения с таким показателем, и в
