Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 36

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 121 >> Следующая

этом случае нормальную фундаментальную систему можно также полагать
действительной.
Пусть Ns (s = 1....т) - максимальное число линейно незави-
симых решений системы (3.4.1), обладающих характеристическим показателем
a.s. Рассмотрим совокупность всех решений x{t), включая тривиальное,
характеристические показатели которых не превышают числа as, т. е.
(r)is = { x{t):i\x (0]<"s }.
В частности, имеем (r)f0 = O, = Из теорем о характеристических показателях
следует, что если л; (t) ? и у (() ? 4Dls, то сх (() ? Эц (с -
постоянная) и л; (/) -}-у (/) ? Ш3. Поэтому ЯЯ*
НО ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. ИГ
является линейным подпространством (см. приложение) пространства решений
Ш".
Лемма 1. Число Ns совпадает с размерностью линейного подпространства 93^,
т. е.
Ns- dim 5)^ (s- 1,..m). (3.4.4)
Доказательство. В самом деле, по определению каждое решение с
характеристическим показателем ols входит в т. е.
dim Шз Ss Ns. (3.4.5)
С другой стороны, пусть { x(p)(t), у(9) (t) [ - некоторый базис
пространства Ш8, где
х[*(р)(0]<", и xLv(e)(0]=*,--
Этот базис обязательно должен содержать решение с наибольшим
характеристическим показателем as, так • как в противном случае
существовали бы решения системы (3.4.1), которые нельзя представить в
виде линейной комбинации базисных решений. Пусть y{r) (t) - решение
системы (3.4.1) такое, что */ [Уг)(/)] =as. Система решений { х(р) (t) -
j-Уг) (t), y{q) (t) } образует новый базис подпространства 9}?^.
Действительно, если
? ар (t) + /'> (/)] + ? (t) = О,
р я
то
2 арх^ (0 + (2 ар + Ьг)уМ (t) + 2 bqy^ (t) = 0
Р Р Яфг
Отсюда в силу линейной независимости решений х(Р) (t) и У"> (t) получим
ар = 0, + = bq = 0 при q ф г,
р
и, значит, все bq - 0. Таким образом, система решений
{л^>(/)+У'> (*), у">(*)}
есть базис подпространства Wls, причем, очевидно, каждый элемент его
обладает характеристическим показателем m.s. Следовательно,
dim (3.4.6)
Из неравенств (3.4.5) и (3.4.6) следует равенство (3.4.4). Следствие 1.
Имеет место строгое неравенство
^i<iV.2<...<yVm,
где Nm - n.
§ 4]
НОРМАЛЬНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
141
Следствие 2. Если ns(s- 1.......т) - число решений с ха-
рактеристическим показателем as, входящих в произвольную фундаментальную
систему X (t), то справедливы неравенства
¦ Ns(s = 1.......т).
(3.4.7)
Действительно, каждая часть фундаментальной системы X (t), включающая все
линейно независимые решения с характеристическими показателями, не
превосходящими as, очевидно, содержится в подпространстве SD?S.
Замечание. Число элементов (в обобщенном понимании) линейного
пространства размерности р будем условно обозначать символом оор.
В этом смысле можно сказать, что линейная система (3.4.1) имеет
N N
ОО s - СО s-l
решений _с характеристическим показателем (s=l, т\
¦ 0). Таким образом, почти все решения линейной однород-
но
ной дифференциальной системы обладают наибольшим характеристическим
показателем
а= max y.s.
s
Пример. Пусть общее решение линейной дифференциальной системы имеет вид
х = схае( -f- c2best-j- csce3t,
где cx, cs, сз - действительные произвольные постоянные и а, Ь, с -
постоянные ненулевые векторы. Тогда каждое решение в пространстве 0 сх с3
с, будет характеризоваться вектором с = (сх, с2, с3) (рис. 17).
Спектр системы, очевидно, {1, 2, 3}.
Решениям х таким, что
*М = 1.
соответствует прямая g^x={ с2 = 0, с, =0 } с исключенным нулевым вектором
(рис. 17). Решениям х с характеристическим показателем
отвечает плоскость
lM = 2
е5Р = { с, = 0 }
с исключенной прямой <J%1. Наконец, решениям х с максимальным
характеристическим числом
X [х] = 3
соответствует трехмерное пространство 3 = скостыо
;0 сх с2 с3 с исключенной пло-
142
ПЕРВЫЙ МЕТОЛ ЛЯПУНОВА
(ГЛ III
Чтобы охарактеризовать нормальные фундаментальные системы решений, введем
понятие несжимаемости системы функций.
Определение 2. Мы скажем, что система ненулевых вектор-функций л:(,)
(0....x{k)(t)(k^n) обладает свойством несжимае-
мости, если характеристический показатель любой существенной их линейной
комбинации
V = 2c,xM(t) (с,Ф 0),
где Cj постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических
показателей комбинируемых решений, т. е. для всякой комбинации у имеем
1 \У\ = max у [лг(/) (0].
/
Очевидно, если ненулевые вектор-функции обладают свойством несжимаемости
и характеристические числа их отличны от - оо, то эти вектор-функции
линейно независимы. Обратное неверно.
Заметим, что совокупность вектор-функций с различными характеристическими
числами, очевидно, обладает свойством несжимаемости.
Лемма 2. Если фундаментальная система X (t) обладает свойством
несжимаемости и ns т) - число ее решений
с характеристическим показателем as, a Ns - максимальное число линейно
независимых решений системы с характеристическим показателем as, то
справедливы равенства
ni "Ь + • • • -j- tis = NS (s- 1..m), (3.4.8)
т. e. в этом случае суммы ? nk(s- 1, ..., т) достигают своих
*=!
наибольших значений.
Доказательство. Действительно, по свойству несжимаемости решение x(t),
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed