Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
[eaty] =а -f i [у].
Определение 4. Под интегралом функции f(t) (t0^t^oo),
следуя Ляпунову (см. [13]), будем понимать
t
F (t) = \f(tl)dtu если х[/]3э0, (3.1.14)
^0
И
F (t) == 5 / (ti) dtlK если х[/1<0. (3.1.15)
t
Теорема 4. Характеристический показатель интеграла не превышает
характеристического показателя подинтегральной функции.
Доказательство. Пусть
x[f(t)] = а^±оо; тогда для любого е^>0 будем иметь
\f(t)\ё~(a+li) 1 -*¦ 0 при t ->¦ оо.
Отсюда
|/(f)|s?Mele+,)t,
где М - некоторая положительная постоянная.
1) Если a^tO, то из (3.1.14) имеем
(0 К \ I / (to I Л| < S '.Л, =
*0 Л)
= -4- [е(а+ s) ' - е(а+ •> *•] < - Д- е(а+>,).
а -J- 6 1 J ^ ct + e 4 и/
Таким образом,
х[^(01=хП^(0'|]<" + в.
а так как е^>0 произвольно, то
%IF (0]^"=*xl/WJ.
132 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
2) Если а <[ 0, то из (3.1.15) при 0 е ] а |' получаем
СО СО у ЯЛ I + \ t
IF (t) К SI / ft) | Л, < М S .
Отсюда аналогично предыдущему выводив
z[/?K*=zl/]-
3) Утверждения теоремы, очевидно, остаются в силе, если а= - оо или *а
= -|~оо.
Следствие. Если
ХЫ=^а> Xtyl^P (а + РЗгО),
то
t
X [S Т (^l) Ф (^l) (3.1.16)
*0
Действительно, используя свойство монотонности характеристических чисел и
теорему 4, имеем
х [{"р ft) ф ft) dh] < х В м*'+,) 'ч т Wi] <
*0 to ,
<а + Е + х[|ф|]^а + Р + е-
А так как е^>0 произвольно* то отсюда вытекает неравенство
(3.1.16).
§ 2. Характеристические показатели функциональных матриц
,0пределение-. Назовём характеристическим показателем матрицы F{t) -
[fJk(t)) определенной на [/<>, оо), число или символ + оо (- оо):
1 №(0] = max х [fjk (0]- (3.2.1)
h *
Заметим, что если
FT(t)=lhj(t)]
- транспонированная матрица, то из формулы (3.2.1) вытекает
х^Г(0]=х[/Г(0].
Лемма. Характеристический показатель конечномерной матрицы F (t)
совпадает с характеристическим показателем ее нормы, т. е.
х^(т=хцрт.
5 2] ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ 133
где под нормой матрицы понимается одна из трех рассмотренных выше норм
(гл. I, § 4).
Доказательство. Так как
1Ы01 <11/40 II,
то
ilfik (0]<х tl /401|]
и, следовательно,
х№]<х НТО II].
С другой стороны, очевидно, имеем
toiksimoi-j, k
Поэтому на основании теоремы 1 из § 1 получаем Xtll F (0 111 < max x tfjk
(0] = XIF (0].
J, k
Таким образом,
xlF(t)] = xl\\F(t)\\].
Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа матриц не
превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц.
Доказательство. Пусть Fs(t) (s=\, ..., N) - матрицы одного и того же типа
т X п и
/40 = 2 Fs(t).
5=1
Отсюда
II /=чо|| <2 А*7- (он
5=1
и, следовательно,
X IF (t)] = х l|| F(t) ||] < z [S I Fs (0 ll] =
5-1
= maxxt|| Fs (01|] = шахх^ЛО], (3.2.2)
5 S
что и требовалось доказать.
Замечание. Если среди матриц Fs(t) (s = 1.........N) имеется
лишь одна обладающая наибольшим характеристическим показателем, то
характеристический показатель суммы этих матриц равен сумме их
характеристических показателей.
134 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. lit
Действительно, пусть
X [^1 (01 > X (0] при s> 1
МО = [/$(01 (s=1...........N),
М)=ЦМ0=[/,* (Oi-
Допустим, что
X [fj (/)] = max х [/'У (/)] = у_ 1/^ (/)].
/" ^
На основании теоремы 1 из § 1, учитывая, что
х[/$ <01<XIM01<X [/?")]
при s> 1, имеем
х[/и(01 = х[/р](01 = х[Л (01-
Следовательно,
X № (01 5s X (01 = max х [Fs (/)].
Сопоставляя это неравенство с неравенством (3.2.2), получим окончательно
X [F (О] = max х \FS (/)],
S
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Характеристический показатель Произведения конечного числа
матриц не превышает суммы характеристических показателей этих матриц.
Доказательство. Пусть Fs(t) (s=l, ..., N) - матрицы, допускающие
последовательное умножение, и
М)=ПМ0-
5=1
Отсюда
I! F(f) ||<ПИ МО1!
s
и, следовательно,
X IF (01 =Х HI F (0II < Ц X III F, (0111 = Ц X [Fs (0L
S S
что и требовалось доказать.
§ 3] СПЕКТР ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ 135
Следствие. Характеристический показатель линейной комбинации
'Ei CsFs (0 (с, Ф °)
S
нескольких матриц не превышает наибольшего из характеристических
показателей этих матриц и совпадает с ним, если наибольший
характеристический показатель имеет лишь одна из матриц.
§ 3. Спектр линейной однородной системы
Пусть
Tt = A(t)x (3.3.1)
- линейная дифференциальная система, где A(t)^C(a, оо).
Теорема Ляпунова (о характеристических показателях решений линейной
системы). Если матрица линейной системы (3.3.1) ограничена,
1И(*)||^с<оо, (3.3.2)
то каждое действительное или комплексное нетривиальное ее решение x~x(t)
(аt0 sg / со) имеет конечный характеристический показатель.
Доказательство. Пусть
л: = colon [хи ..., хп\ф О
и t0, t?(a, со). Из уравнения (3.3.1) получаем
t
х (t) = х (to) + 5 A (ti)x (t\) dtx.
Отсюда
II x(t) || sg || лг(?") || + 5 IMWII II x (ti) || | dt\ |.
*0
Применяя обобщение леммы Гронуолла - Беллмана (гл. II, §11), при t^t0
будем иметь
||x(g 1 exp [-J || Л ft) |j df,]sS h
II X(t) II ^ || лг(#о) II exp [5 II A (ti) II dtt].
*0
136 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Ill
