Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 39

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 121 >> Следующая

t -> OO %>
to
Для асимптотической устойчивости системы (3.6.1) достаточно, чтобы было
L < 0.
§ 7. Неравенство Ляпунова
Пусть линейная дифференциальная система
§ = A(t)x (3.7.1)
с ограниченной действительной матрицей A(t) С [^0, со) имеет спектр
- со о.т -f- со (ms^n).
Обозначим через X (t) = (xjk(t)) ее фундаментальную матрицу,
где первый индекс /, как всегда, обозначает номер координаты,
а второй k - номер решения, и пусть
п т
зх= 2 ул*(,г)]= IXя* (з-7-2)
ft = 1 S=I
- сумма характеристических показателей всех решений из X
(t),
где число ns(ns^ 1) показывает, сколько решений с характери-
стическим показателем as содержится в системе X (i).
§ 7] НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА 151
Рассмотрим определитель Вронского W (i) = det X (t).
Развертывая определитель W (t), согласно обычным правилам,
будем иметь
W(t) = Ц ¦ (-l)'xPii(t)...xPnn(t), (3.7.3)
<Pi..V
где'сумма (3.7.2) распространена на все перестановки (ри рп)
из п элементов 1, ..., п и ( - 1)* - сигнатура перестановки, равная -|-
1, если перестановка четная, и -1, если перестановка нечетная. Используя
теоремы о характеристических показателях суммы и произведения (§ 1) и
учитывая равенство (3.7.2), получим
X[W(t)]^ шах \х[хр>1 (0] + --- + Х[*РлЛ/)]}^с*- (3-7-4) .................
С другой стороны, на основании формулы Остроградского - Лиу-вилля (гл.
II, § 3) имеем
t
W (t) = W ft) exp $ Sp А (ti) dti,
*0
поэтому
t
l[W (01 = lim ~\n\W (t) |.= lim 4 ^ Sp A ft) dtu
/ -> CO * (-* CO v
^0
Отсюда на основании неравенства (3.7.4) получаем неравенство Ляпунова
т t
°х= У пиЧSs lim ~ \ Sp A (t\) dt[. (3.7.5)
*~1 й
Так как матрица А (t) ограничена, то, очевидно, t t
lim 4 ^ Sp A ft) dti - lim -r~- ^ Sp A ft) dtu '0 *0
Следовательно,
t
lim ? Sp Л (/j) .
t-+oo 1 l0 J
Таким образом, для линейной однородной дифференциальной системы с
непрерывной ограниченной матрицей сумма характе-
152 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА щ
ристических показателей решений из любой ее фундаментальной системы X не
меньше верхнего предела от chedH4J0 значения следа матрицы системы. В
частности, неравенству /375ч справедливо для нормальной фундаментальной
системы X Сумма 0 имеет
наименьшее значение. ' у х
Замечание Если матрица Л (0 кош*лек т0 ен.
ство Ляпунова (3.7.5), очевидно, имеет вид
t
Т S ReSp^ (k)dlv (3.7.6)

JfT ДОСТаТОЧИОе УСЛ0ВИе ,юРмально^ти фундаментальной системы решении.
Теорема. Если для фундаментальной сЧгтрмм пРШРИ..г. X(t\
линейной однородной дифференциальной сист^мы с Матрицей A (t)
выполнено равенство Ляпунова н ^ w
t
^ = \^T\^PA(tl)dtb (3.7.7)
t о
то эта система нормальная.
Доказательство. Действительно, ес^ систша х не
(tm)тор°оРйМаЛЬИОИ' Т° СУЩеСТВУ6Т ФУидаме(1тальная система Z,
t
*z<ax = m±\ReSpA(tx)dtu (3.7.8)
что противоречит неравенству Ляпунова (3.7
Замечание. Существуют нормальные фундаментальные стемы, для которых не
выполнено равенство ляпунова
Пример. Пусть
dx , . " ^ , щ = у [sm (In t) -f cos (In t)},
dy !¦ (3.7,9)
^ = x [sin (In t) -f cos (In t)} 1
Тогда получаем
(1 t < oo). x-\-y=.2cleis^at),
"НИИ], \
^sin (In , J
где Ci и c2 - произвольные постоянные. Отсюда
x = с Уsin <¦111 ') -I- Ci>e- <814 (I tl 0 t y = схе<5'п(1п - c2g- < sin
(in о,
§ 8] ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА Н. П. ЕРУГИНА 153
Так как при | с, j -j- | с2 [ ^г?: 0 имеем
jW = i Ly] = * >
то любая фундаментальная система Х-{х,у} является нормальной и
ах - 2.
Однако для матрицы A (t) системы (3.7.9), очевидно, имеем
О sin (In t) 4- cos (In t)
A (t) -
[sin (In t) -j- cos (In t) 0
Отсюда
Sp A (t) = 0
и, следовательно,
t
Sp A (t,) dtv
§ 8. Приводимые системы. Теорема H. П. Еругина
Определение 1. Матрица Ь (t) ? С1 [/0, оо), вообще говоря, комплексная,
называется матрицей [Ляпунова, если выполнены следующие условия (см.
[13], [20]):
1) L(t) и L (t) ограничены на промежутке [/", оо), т. е.
sup II ? (0 i| < CO, sup IА (0II < оо
t t
при /0 < * < оо;
2) |detZi(/)|^m^>0,
где т - некоторая положительная постоянная.
Очевидно,
jdetL(0|=s=Af<co.
Заметим, что матрица /Г1 (/), обратная матрице Ляпунова L (/), есть также
матрица Ляпунова.
Действительно, если L (t) = [ljk (/)]-матрица Ляпунова и LJk(t) -
алгебраическое дополнение элемента lJ>t (t), то
det Z. (O'
Отсюда, учитывая условия 1) и 2), будем иметь
sup II Zr1 (OIK CO,
причем, очевидно, Zr1 (0 ? cl Uo, со) и ~ [L-1 (/)] ограничена. Кроме
того,
l'ieti',(')l=Ti"Twr^n>0-
Таким образом, L"1 (t) - матрица Ляпунова.
154
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. Ill
Определение 2. Линейное преобразование
y = b(t)x (3.8.1)
с (п X п)-матрицей Ляпунова L(t), где х и у - (п X 1)-векторы, называется
преобразованием Ляпунова,
Лемма. При преобразовании Ляпунова (3.8.1), произведенном над линейной
дифференциальной системой
% = A(t)x, (3.8.2)
характеристические показатели ее решений х сохраняются. Действительно, из
(3.8.1) имеем
X = L~l{t)y.
Следовательно,
||j; || <!)/.(/) || II* ||
I *|| <|| A"1 (t) ЩуЦ.
Отсюда, учитывая, что ||&(0!1 и ||L_I(<)| ограничены, получаем
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed