Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
14. Доказать, что линейная система
dx " т
Tt = A(t)x
равномерно устойчива в области Т < t0 < оо тогда и только тогда, когда ее
матрица Коши
K(t, h)=X(t)X-' (t"\
ограничена в области Z{t(s*Skt< со, r</0<coj (Конти).
15. Пусть система
dx
di
(А = const) устойчива.
122 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. И
Показать, что если
ОО
в (t)? С [0, оо) и J IIS (t) II dt <00,
О
то система
Q=\A+B{t)\y
равномерно устойчива в области [0, оо).
16. Показать, что все решения скалярной системы
dx dy 2у ,
at=y' ?=-т (/?sl>
ограничены на [1, оо); однако эта система не является равномерно
устойчивой в области 1 ^ t, ta < со.
17. Пусть система
dx
af = AWx,
где A (t) ? С \t0, 00), устойчива при f - оо и
t ОО
lim f Sp A (tj) dtl > - 00, С ||/(*t) II dtt< 00.
(->00 f0 !(|
Доказать,/что все решения неоднородной системы
^ = A(t)y+f(t)
ограничены на [t, 00).
18. Пусть A (t) ? С [f0, 00) и все решения системы
dx
ограничены на [t0, 00), причем
dt=A(t)x
t .
lim j Sp A (t) dt~> -- 00.
/-> 00 <0
Тогда, если
то все решения системы
J II В (t) || dt < со, <0
также ограничены на [ta, со) (см. [6]).
Рассмотреть случай скалярного уравнения
JP-{-a (t) х = 0.
ГЛАВА ИГ ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
§ 1. Характеристические показатели функций
Пусть <р (/) - действительная функция, определенная в интервале
/о<С^<Ссо- Если для некоторой последовательности /*-"--)-оо (k=l, 2, ...)
существует конечный или бесконечный предел определенного знака
a = lim<p(/ft),
k-ЮО
то число а или символ - оо (-f- оо) называется частичным пределом функции
<р (/) при t-*¦ оо.
Определение 1. Наибольший из частичных пределов a функции <р (/) при t->¦
оо называется ее верхним пределом:
a= lim <р (/).
t~*CO
Более точно: а) если
для любого отрицательного Числа - Е справедливо неравенство
<р(/)<С- Е при /]>Т(Е),
то полагают
lim <р (/) = - оо;
t~* СО
б) если (рис. 15) для некоторого числа а при любом выполнено
неравенство
!Р(0<" + 6 при ^>^(6),
причем существует последовательность tb-> оо такая, что
lim <р (/*)=¦",
k~*CO
:>0
то считают
Чт <р (0 = а; /-*00
*24 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. иг
в) наконец, если функция ср (t) не ограничена сверху на любом
интервале (Г, оо), то принимают
lim ср (/) = +оо.
*-*¦00
Аналогично определяется нижний предел функции ср (t) при /->-[-оо как
наименьший из ее частичных пределов р при t-*-oo:
P=rlimcp(/).
/->со
Л1ожно также положить
<Р(0 = -Игл Е - "Р(01-
/->СО /->СО
Очевидно,
lim ср (t) ^ lim ср (/),
/->СО / -> СО
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда суще-ствует
конечный или бесконечный lim ср ((). В этом случае
/->СО
lim ср (t) = lim ср (t) = Hm ср (t).
~t~^Z <-*¦ oo оо
Легко убедиться, что 1) верхний предел функции обладает свойством
монотонности, т. е. если
<р(0"1"(/),
то
lim ср (/) lim ф(/);
/-КО /->ОО
2) справедливо неравенство
Hm [? (О + Ф (01 Hm ср (t) + lim ф (/),
/->СО /->СО /-*¦00
причем это неравенство превращается в равенство, если сущест-вует
конечный предел при /->-(- оо хотя бы одной из функций ср (t) или ф(/);
3) если ср (/) ^ 0 и ф (/) 5= 0, то
lim [ср (/) ф (/)] ^ lim ср (/) lim ф (/)
/->СО /->СО /->оо
в предположении, что правая часть неравенства имеет смысл, причем, если
существует limcp(/) или Пптф (t), последнее нера-
/-ко /->со
венство превращается в равенство.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИЙ
125
Пример 1. Имеем
lim sin2? = lim cos2? = l.
t->oo t->ОО
Здесь
lim (sin2^ -j- c°s30 = 1 < lim sin2/-f- lim cos2? = 2.
t->CO t-*QO t-*QO
Рассмотрим показательную функцию
в*
где а действительно. Множитель а характеризует рост функции е"'; если
а^>0, то, очевидно, -> оо при оо; если же а<^0,
то при /-> + оо. Число а будем называть характеристи-
ческим показателем функции е"7.
В общем случае рассмотрим комплекснозначную функцию
f(f) = W + iW
действительного переменного t, определенную в интервале (/0, оо). Модуль
этой функции можно представить в показательном виде
1/(0 | = е" <'>•',
где
а (0 - т- In | / (0 |
играет роль множителя при t. Изучая рост функции |/(01, естественно
рассматривать максимальные значения функции а (г1).
Определение 2. Число (или символ -оо или -)-оо), определяемое формулой
X[/] = Hmjln|/(/)|, (ЗЛЛ)
будем называть характеристическим показателем Ляпунова (короче,
характеристическим показателем).
Это - функционал, определенный на множестве функций {/(0}, заданных на
полуоси (/", оо). Для показательной функции ел(, очевидно, имеем
Х[еа<] = ".
Характеристический показатель а равен взятому с обратным знаком
характеристическому числу функции / (0, введенному Ляпуновым. Изложенные
ниже теоремы о характеристических показателях функций аналогичны
соответствующим теоремам Ляпунова (см. [15]).
126 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Очевидно, имеем:
а) X [/(01 = х [!/(*)!];
б) х[с/(01 = *[/(*)]
Пример 2. На основании формулы (3.1.1) получаем ^[^т]=0 (т - любая
постоянная);
[е/ sin /] - 1; ^ [е'~] = -J-со и т. п.
Из формулы (3.1.1) вытекает, что характеристический показатель обладает
