Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
//_*"
Т( = р(*)х> (2-13.1)
где P(t)?C [to, оо).
Пусть матрица Р (t) перестановочна со своим интегралом, т. е. t t
P{t)\P (/,) dt, = \P (t,) dt, • P (t) (2.13.2)
^ 0 *0
при t tn (условие Лаппо-Данилевского). Тогда
t
J P(h)dh
Q(t) = et° (2.13.3)
представляет собой матрицант системы (2.13.1) (см. [20]). Действи-
тельно, учитывая, что
t
?t$P(tl)dt, = P(t),
'о
на основании условия (2.13.2) имеем (гл. I, § 14) t t
J PtfiXtti J PUi)<"i
Q(t) = et" P{t) = P(t)e'о = P(t)Q (t).
Кроме того,
a (/") = ?.
Таким образом, общее решение системы (2.13.1) есть
t
X (i) = exp $ Р (tа) dt, ¦ X (/о). (2.13.4)
^0
Пример. Если (2 х 2)-матрица имеет вид (см. [20])
¦ Р (О Ч (ОТ _9(0 Pit) У
P(t) =
то условие (2.13.2), очевидно, выполнено.
118 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. IT
Теорема. Пусть для любой пары (t0, О G (а> 00) выполнено условие (2.13.2)
и существует предел
t
Л = Нш4- Г P{ti)dh. (2.13.5)
*->00 1 J ^0
Тогда, если все собственные значения \} = \}(А) (1=1........ п)
предельной матрицы А расположены в левой полуплоскости, т. е.
ReX; M)<0 (/= 1,..., (2.13.6)
то линейная система (2.13.1) асимптотически устойчива, при i-+oо.
Доказательство. 1) Из условия (2.13.2) при (t, s) ? ? (а, оо) имеем
t t
Р (t) J Р( f,) dU = \P (U) dU P (t\. (2.13.7)
S S
Дифференцируя равенство (2.13.7) по переменной s, получим
Я (0 ( - ^ (s)] = [- р (S)] - я (0.
P(t)P(s) = P(s)P(t).
Отсюда находим t $
J Р (h) dh-\$ Р (t,) dt, = | \dtt[P fo) P (t,) dtt =
^0 ^0
t s s
= 1. J Л, J P (t,) P (ti) Л, = 1 j P (h) dt, J P (ty
to to ?0 to
J $ s t
h) dUi
to to fo to
Переходя в последнем равенстве к пределу при s -> оо, будем иметь
t t
$ Р (/,) dh-A = A-\P (ti) dtu (2.13.8)
A) ^0
таким образом, предельная матрица А перестановочна с интегралом t
\P(ti)dti
Ч-
4"
2) Положим
t
t
h
где B(t)-+ 0 при t *-> оо.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II 11&
Докажем, что матрицы А и В (t) перестановочны. Действительно, учитывая
соотношение (2.13.8), имеем
t
A-B(t) = A-[\ ^Р(/1)Л1-Л] =
*0
t
= y^P(t1)dtA-A* = B(t)A. (2.13.9)
*0
На основании формулы (2.13.4) выводим, что любое решение x(t) системы
(2.13.1) имеет вид t
J Pttt)dh
x(f) = e'" ¦x(t0) = etA+tBtt)-x(t0).
Отсюда в силу перестановочности матриц А и В (/)
получаем
X (t) = etA ¦ е'в <о • X (/0). {2.13.10)
Пусть
min Re Ху (Л) = а О /
и е>0 таково, что
а+2е<0.
Выберем Т столь большим, чтобы выполнялось неравенство
II Я (/) II < в при /•^7'> 0.
Из формулы (2.13.10), учитывая оценку (1.13.6) и используя
первую норму, находим
II * (О II "? II II • II е'в w IIII х (/,) II ^ С • ' • ё"в и
|| х (/,) ||
==?c||jt(/o) ||е(а+аЕ>< при t^sT.
Следовательно,
limjt(/) = 0 /->00
и, значит, линейная система (2.13.1) асимптотически устойчива при /->-оо.
Упражнения к главе II
1. Методом вариации произвольных постоянных Лагранжа найти частное
решение уравнения
J + 2PS+(P2 + qs)y=/(t)
(р, q - постоянные; f (t) ? С [0, оо)), удовлетворяющее условиям:
>40) =0, у (0) = 0.
120 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ |ГЛ. II
2. Доказать, что полином
f(z) = z*-{-pz-\-q
ip, q действительны) есть полином Гурвица тогда и только тогда, Korjja
р>0 и ?>0.
Вывести условия Гурвица для полинома /(г), если его коэффициенты р и q -
комплексные числа.
3. Пусть /(г) - стандартный полином и /(-В) ;> 0 (В>0), причем для
полинома
g (г) =/ (г - В)
выполнены условия Гурвица.
Доказать, что корни г/ полинома/(г) удовлетворяют усиленному условию:
Re zjC - b.
4. Написать условия Гурвица для возвратного уравнения
zi -\- pzb -\- qz2 -\-pz-\- 1 =0
{р и q действительны).
5. Найти область асимптотической устойчивости для скалярной системы
^ = --к + ЧУ-Н2.
dy
Tt=
dz
{а и {J - действительные постоянные).
6. Используя следствие теоремы 2, указать достаточные условия
асимптотической устойчивости линейной скалярной системы
dx
-^-t - (a-\-at)x-\-{b-\-^t)y,
% = (.c + tt)x + (.d + bt)y
{а, b, с, d, а, р, 7, В - действительные постоянные).
7. Определить область устойчивости системы
7Й*=" + ** I
{а, Ь, с, и d - действительные постоянные).
8. Построить годограф Михайлова для полинома
/(г) = гз+г*+г + 2
и определить расположение его корней на комплексной плоскости.
9. Методом Михайлова вывести условия Гурвица для полинома
/ (г) = га + PZ + Я
(р и q действительны).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II 121
10. Доказать аналог леммы Гронуолла. Пусть <р (t), (t\x (t) ?
С [a, b]
и i (t) > 0, при a^t^b, причем
t
<P (*) ^ (0 + j <P (s) 1 (s) ds b),
a
Тогда
t t
<P (t) Ф (0 + j Ф (s) exp [j X (U) rfu] rfs
a 5
при fl =g ft.
11. Пусть
S'1"* <*>
где A(t) ? С [*0, со).
Доказать, что
* t II x (<0) II exp [_$ II Л (tt) II dtj < II x (t) IK II X (to) II
exp j || A <<,) || dt,
*0
при
12. Доказать, что если
00
$!|Л(*1) + ЛГ(*1) ц^ссо,
*0
то все решения действительной системы (*) из 11 ограничены на [t0t со).
13. Доказать, что если а>0 и
00
j II ь (ti) II dti <со,
<о
то все решения скалярного уравнения
х [о + Ь (<)] х = О
ограничены на [<0, со).
