Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
свойством монотонности: если
\f(t)\^\F(t)\ при *>7\
то
. (3.1.2)
Заметим, что для любой последовательности /й->-(-оо имеем \im~\n\f
(tk)\?s~i[f(t)].
k-> ОО
Лемма. Если
х[/] = а^±оо, (3.1.3)
то 1) для любого е^>0 справедлива формула
f(t) = Q[*'+')'],
т. е.
(3.1.4)
2) _
limJ/(^i - -j-оо
т. е. существует последовательность tk-+ оо такая, что
ИшШ^и=+оо. (3.1.5)
*-"о е k
Обратно, если для некоторого о. при любом е>0 выполнено соотношение
(3.1.4), то
х [/]"?<*;
если же имеет место соотношение (3.1.5), то
xl/issa;
наконец, если выполнены оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то
§ М
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИИ
127
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость. Пусть
Отсюда
и
lim 1
k-*CO
где ^-voo. Следовательно,
x[/] = lim|in|/(0|=a.
f-*00 I
f ln|/(OIO + у ПРИ (>T
In | / (tk) | = a,
1/(010
2 У к _
при t^>T
при k^> N.
Из последних соотношений вытекают формулы (3.1.4) и (3.1.5).
2) Установим теперь достаточность. Если имеет место формула (3.1.4), то,
очевид-
Уг=е
Ca*e)t
y=\f(t)\
Уге
(a-e)t
но, имеем
Х[/]^Х[е(а+6)']=* + г-Отсюда ввиду произвольности числа s получаем
если выполнено соотношение
(3.1.5), то имеем
1 in|/(W|^a_e
*->00 Ik
и, следовательно,
xt/]^a-
Если же имеют место оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то, очевидно,
получаем
X [/] = *•
Замечание. Таким образом, если ^[/]=а, то при t-+oo модуль функции у =
|/(01 растет медленнее, чем любая показательная функция y<l = e{a'+e)t
где е j>0, и по некоторой последовательности tk-+co быстрее, чем г/, =
е(а"е)( (рис. 16).
Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа функций /А
(t) (k-\, ..., т) не превышает наиболь-
Рис. 16.
128 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
шего из характеристических показателей этих функций (в случае
их конечности) и совпадает с ним, если наибольшим характери-
стическим показателем обладает лишь одно из слагаемых, т. е.
т
х| 2 MOHmaX* [М01. (3-1.6)
*=1 *
Доказательство. 1) Пусть
max х [/*(01 = " ^ ± оо. к
В силу леммы при любом в 0 имеем
1(tm)^Шт = 0 (А=1............т).
t->со е
Отсюда
т
|Цл(о|
ffi+"'r==0(l) ПРИ t-+oo.
*=i
Следовательно, на основании второй части леммы имеем
X [S/ft (0]^a = maxx[/t(0]. (3.1.7)
k ' *
2) Пусть
max х [/* (01 = X l/p (01 = *
*
и
x(MO] = aftO при
Допустим, что последовательность tq-+oo такова, что
lin)%^r- = + oo.
q-юо 6 Я
При ^-оо имеем
т
^1 ^ !/р (tq) 1 _ V |/ft(*g)l 1
Отсюда при 0<^? <^min --^а- получаем
§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИЙ 129
Поэтому
г Е (*)] 55 "• k
В сочетании с неравенством (3.1.7) это дает
хЕ /* (О] == * = maLx х [/* (01-
к *
Замечание. -Неравенство (3.1.6) формально остается верным, если все или
некоторые aft = + оо или -оо.
Теорема 2. Характеристический показатель произведения
конечного числа функций /* (t) (k = 1....т) не превышает суммы
характеристических показателей этих функций, т. е.
т т
х1ПЫ0]<2х[Ы0П. (3.1.8)
fi-l k=\
Доказательство. Очевидно, имеем
X [П/*(0] = Йт j-ln|n/ft (/)| = lim2y 1п|/*(/) К
k ft
^ ^ Tim -j-In I /* (01 = S X [/* (01-
* ft
Следствие. Характеристический показатель конечной линейной комбинации
функций fk(t) (k = \, ... , т) с ограниченными коэффициентами ck (t) не
превышает наибольшего из характера стических показателей комбинируемых
функций, т. е.
1 [S (*) (*)] ^ mfeax * (*)]•
Действительно, учитывая, что
ZlCftWKO, на основании теорем 1 и 2 имеем
11S с" (^ /* wj ^ тах [с* W W1 <
k k
<: max {x [c* (/)] + *[/*(/)]}< max x [/ft (*)]. k k
*) Формула (3.1.8) становится неопределенной, если среди функций (t)
имеются функции fp{t) и fq(t) такие, что х[/р(0] = -со и = + оо.
5 Б. П, Демидович
130 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Замечание. Если линейная комбинация функций
2с*мо (с* 5*о),
А=1
где ск постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим
характеристическим показателем, то
т
X [2 е*/* (*)] = max х [/*(*)]•
k=\ k
Определение 3. Назовем характеристический показатель функции / (t)
(t^>t0) строгим, если существует конечный предел
Zt/] = lim|ln|7(0|. (3.1.9)
/-*00 1
В этом случае, очевидно, /(От* 0 при t^>T.
Если функция f(t) имеет строгий характеристический показатель, то из
формулы (3.1.9) получаем
т. е. •
х1П + х[у\=о. (3.1.10)
Обратно, если выполнено равенство (3.1.10), то, учитывая,
что
Х[/] = Шп i-ln |/(/)|
i-*co 1
И
X [i.] = Hm [-\ In I / it) |] = -lim ~\f(t)\, будем иметь-
Hm±ln|/W|= lim 1 ini/(0 I,
f_*.co *, /->oo 4
т. e. существует предел (3.1.9).
Теорема 3. Если функция f(t) имеет строгий характеристический показатель,
то характеристический показатель произведения функций f (t) и g (t) равен
сумме характеристических показателей этих функций, т. е.
х if (0 в (01=х I/ (01 + х lg (01- (3.1.П)
§ 1] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ФУНКЦИЙ 131
Доказательство. На основании теоремы 2 имеем
xifeKxM + xtei. (3.1.12)
С другой стороны, учитывая формулу (3.1.10), получаем
х[grl = х[/s - *[/!>
(3.1.13)
Из формул (3.1.12) и (3.1.13) вытекает формула (3.1.11)., Следствие, х
