Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 41

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 121 >> Следующая

е.
СО
\\A(ti)\dti=k<^co, (3.9.6)
то эта система приводима к системе с нулевой матрицей. Действительно, из
уравнения (3.9.1) при t^st0 имеем
t
x(t) = x (t0) + J A ft) х (/,) dtx.

Отсюда
Г
II¦* (О II <11 ¦*(*<>) II-т- (U) II|| jc (h) Hi.
Используя лемму Гронуолла-Беллмана (гл. II, § 10) и условие (3.9.6),
получаем
t
| х (t) I < || jc (*") || exp ^ || A (ti) I dtx =s? j] x (U) I ek.
Следовательно, все решения системы (3.9.1) ограничены в промежутке [/о,
оо).
§ 101 АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ 159
Кроме того, если A (t) = [aJk (/)], то, очевидно, имеем
i t t | $Sp AtfjdU $ | Sp Л (*,) j df, $ 2 Kv ('") I <
to ^0 ^0 J
t
sg n $ (j A (t^ || dti nK ¦
<0
Отсюда
t t
J Sp A (ti) dti ^ - | § Sp A (t^ dti | ^2 - nK.
Таким образом, все условия теоремы выполнены и система
(3.9.1) приводима к системе с нулевой матрицей.
§ 10. Асимптотически эквивалентные системы
Определение. Будем говорить, что дифференциальные системы
§=--/(*, х) (3.10.1)
и
§ = ?(*, У) (З.Ю.2)
асимптотически эквивалентны, если между решениями их x(t) и у (t) можно
установить взаимно однозначное соответствие такое, что
lim [Jf(0- _У(0]--~°. (3.10.3)
/->00
Укажем простой признак асимптотической эквивалентности линейных
дифференциальных систем.
Теорема Левинсона (см. [23]). Пусть решения системы
y
Tt=Ax' (3.10.4)
где А - постоянная (п X п)-матрица, ограничены на [0, оо). Тогда система
% = [A+B(t)\y, (3.10.5)
В (t) ? С [0, оо) и
ОО
$ ИЖОИСоо, (3.10.6)
о
асимптотически эквивалентна системе (3.10.4).
160 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ! г л иг
Доказательство. Изложим доказательство, идея которого принадлежит Брауеру
[24]. Прежде всего, так как решения системы (3.10.4) ограничены, то
характеристические корни >-(/1) матрицы А удовлетворяют неравенству
Re X (A) =sS 0,
причем характеристические корни с нулевыми вещественными частями имеют
простые элементарные делители (см. гл. II, § 8).
Без нарушения общности рассуждения мы предположим, что матрица А имеет
квазидиагональный вид
А - diag (А1г А,), (3.10.7)
где Ai и А.2 - соответственно, (р X р)~ и (<? X <7)-матрицы (p-\~q - n)
такие, что
Re X (Л,) < - а < 0, ReX(A2) = 0. (3.10.8)
Действительно, в случае надобности этого можно добиться с помощью
неособенных преобразований
% = Sx, n = Sy.
где S - постоянная (п X п)-матрица, причем взаимно однозначное
соответствие между новыми интегральными кривыми ? (t) <-> т] (t)
индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными
кривыми х (t) = S_11 (t) S_1ii (t) =y (t). Кроме того, из предельного
соотношения | (/) - г] (/)-> 0 при tоо, очевидно, вытекает предельное
соотношение x(t)-у (t) ->¦ 0 при t-> оо.
1) Пусть
X (t) = diag (etA\ etA°)
- фундаментальная матрица системы (3.10.4), нормированная в нуле:
Х(0) = Е, и
/, =r diag (Ер, О), I<i = diag (0, Ед),
где Ер и Ед - единичные матрицы соответствующих порядков р
и q, при этом, очевидно, 1у-\- 1.г = Еп. Положим
X (t) = Ху (/)-(- -^2 (0>
где
Ху (t) = X (t) Iу = diag (etAi, 0)
л:а (0 = л: (/) /3 = diag (0, etA*).
Отсюда матрицу Коши
К (t, х) = X (t) X(г) == л (t - г)
АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ
161
можно представить в виде
K(t, x)-=Xl(t- ")-f- А'а (? - х), причем на основании условий (3.10.8)
имеем
ji A, (t) ij = jjeMl при 0=sS^<^co (3.10.9)
н
I Aj (0li = ileM2il< b ПРИ -оэ<? <co, (3.10.10)
где а и b - некоторые положительные постоянные.
Используя метод вариации произвольных постоянных (гл. И, § 5),
дифференциальное уравнение (3.10.5) можно записать в интегральной форме У
(t) - A (t - t0)у (to) -j-
t X
jj Aj (t - x)B(x)y(x) dx $ A.J (t - x) В (x)у (z)dz,
'*) tv, 1
где tn ? [0, со) произвольно. Ввиду абсолютной интегрируемости матрицы В
(t) на [0, со) все решения у (t) системы (3.10.5) ограничены на [0, со)
(гл. II, § 12), и поэтому несобственный интеграл
СО
\Х., (/-x)B(x)y(x)dx является сходящимся. Отсюда, учитывая, что
Xi(t- x)=X(t - X) /а =
= A (t t$) X (tu - т) /.; = A (t - t(,) A,j (to - 'c),
наше интегральное уравнение можно представить в виде
СО
у (t) = X (t - /0) | у (tn) -f I X, (tu - x)B (x) у (т) dx j 4-
h
! CO
+ \Xx(t~x)B(x)y(x)dx~\X.l(t~x)B(x)y(x)dx. (3.10.11)
Решению у (t) системы (3.10.5) с начальным условием y(tn)-y" сопоставим
решение x(t) системы (3.10.4) с начальным условием
СО
X (to) - У (to) ^ А2 (to - х) В (х) у (х) dx. (3.10.12)
h
Так как решения х (t) и у (t) полностью определяются своими начальными
условиями, то формула (3.10.12) устанавливает однозначное соответствие
между множеством всех решений {у (t)\ системы (3.10.5) и множеством
решений [дг(0/ (или его частью)
6 Б. П. Демидович
Ifi2 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
системы (3.10.4). Заметим, что соотношение (3.10.12) непрерывно
относительно начального значения у(^0)=_у0.
2) Покажем, что соответствие между решениями х (t) и у (t);
определяемое формулой (3.10.12), является взаимно однозначным и
распространяется на все множество решений {jc(0}-
Пусть У (t) - фундаментальная матрица системы (3.10.5) такая, что Y(t0) =
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed