Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
обладающее характеристическим показателем as, может быть линейной
комбинацией лишь тех решений из фундаментальной системы X (t),
характеристические показатели которых не превышают as, т. е.
Ns ^ "1 -)- пг -f-ns. (3.4.9)
С другой стороны, всегда
Я) + п-г + • ¦ • + ns ^ Ns. (3.4.10)
Сопоставляя неравенства (3.4.9) и (3.4.10), получаем равенства (3.4.8).
Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы).
Фундаментальная система линейной си-
<s 41 НОРМАЛЬНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 143
стемы (3.4.1) является нормальной тогда и только тогда, когда она
обладает свойством несжимаемости.
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы, т. е.
допустим, что система обладает свойством несжимаемости, и докажем, что
она нормальная.
Предположим противное: пусть существует фундаментальная система Y (t) =
(/), .. .,у{п) (i) } такая, что
aF<ax, (3.4.11)
где
т т т т
°Y= 2 = И ns*s (2 ^s = =
5=1 ' 5=1 5=1 5=1
ols-характеристические показатели нетривиальных решений си-стемы (3.4.1)
и ns (s= \т) - числа линейно независимых решений с характеристическим
показателем as, содержащихся, соответственно, в фундаментальных системах
Y (t) и X (t). Для определенности в матрицах Y (t) и X (/) решения
расположим в порядке возрастания их характеристических показателей.
5
Пусть Ns= И, nk(s=l, ..., т) - максимальное число линейно
ь=\
независимых решений системы с характеристическим показателем ols. Вводя
обозначение
5
(s = 1,..., т),
k=\
в силу лемм 1 и 2 получаем
N[ Nu N2 "? М>,..., N'm-\ Nm_u Nm Nm tl,
причем
Vc - Ns - N's-i , ns - Ns - Ns~ 1 (s-l,...,m; N'Q = Na = 0).
S '
Имеем
' = S VA = 2 (N's - 7Vi_i) as =
5=1 5 = ]
tn-1
A/" rrt^m -j ^5 (^5+1 ^5)
5=1
tn-1
Ss A'mam - v; yvs (as+1 - aj =
5-1
m
= = (3.4.12)
5=!
что противоречит неравенству (3.4.11).
144 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Итак, несжимаемая система X нормальная.
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы, т. е. предположим, что
система X нормальная, и докажем, что она обладает свойством
несжимаемости.
Предположим противное: пусть существует линейная комбинация
y=ic,x^JHt) (Срф 0) (3.4.13)
/= 1
такая, что
УЛУ]<max х [х{,) (*) I = X I-*'р) (0]¦ (3.4.14)
Рассмотрим систему решений
У = { (t), ..., (t), у (0, *(р+1) (t),. •АГ(Я) (t)}.
/
Система У является фундаментальной. В самом деле, пусть
? а,х(t) + (0 == О, (3.4.15)
№
где
? ! О/! Ф о.
/=i
Отсюда в силу линейной независимости решеций х(1) (t) имеем
арФ 0. (3.4.16)
Подставляя в тождество (3.4.15) выражение для у (t) (3.4.13), будем иметь
Ц {а, + йрС/) х{1) (t) + а^рх{р) (t) -f Ц a;-xiJ) (t) = 0.
Г=Р Jb-P
Из последнего тождества, очевидно, получаем
агрр = 0,
что невозможно в силу условий (3.4.13) и (3.4.16). Следовательно, система
У фундаментальная.
На основании неравенства (3.4.14) находим
что противоречит нормальности системы X.
Таким образом, всякая нормальная система X обладает свойством
несжимаемости.
Следствие 1. Во всех нормальных фундаментальных системах X (t) количество
ns решений с характеристическим показателем a* (s = 1,..т) одно и то же.
§ 41
НОРМАЛЬНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
145
где
Действительно, в силу леммы 2 получаем
ns = Ns - Ns_t = У\/0 = 0),
jV5 = dim $)?5.
Следствие 2. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь
спектр линейной системы.
Действительно, так как
то
o=N0<Ni<-<Nm=n, ns - Ns - yvs_! 1 (s - 1,..m).
Свойство несжимаемости Ляпунов положил в основу понятия нормальности
фундаментальной системы (см. [13]).
Определение 3. Совокупность всех характеристических показателей аь ал
нетривиальных решений линейной однородной системы (3.4.1), где каждый
повторяется столько раз, сколько ns (s = l, ..., т) линейно независимых
решений с характеристическим показателем a.s содержится в некоторой ее
нормальной фундаментальной системе Хи будем называть полным спектром
системы
(3.4.1), а сумму
т
S = И Ч = И nsa, fc=l
5=1
показателей
линеинои системы
- суммой характеристических (ns - кратности элементов спектра).
Теорема Ляпунова (о построении нормальной фундаментальной системы
решений). Пусть дана линейная дифференциальная система
% = A(f)x, (3.4.17)
где х = (х,....хп), A(t)?C(a, оо), sup || А (() || <[оо, и пусть
Z (t) - {г(1) (о.z(n) (/)} - ее фундаментальная матрица. Тогда
существует постоянная треугольная матрица.
(3.4.18)
-1 0 . .. 0-
с = 1 . . 0
_Сп1 СгЛ • . 1
такая, что
X(t) = Z (t) с
(3.4.19)
есть нормальная фундаментальная матрица системы (3.4.17).
146 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Доказательство. 1) Пусть
X (/) = {*<"(/), *<">(/)}.
Подберем числа cJk(k<^j) так, чтобы
*<" (/) = *<'> (0 + сиг<8) (/)+...+ cBi*(n) (/),
[ГЛ. Ill
Xw(t) =
*(а-)
(/)+... +Cn^nHt),
"¦(")
(О,
(3.4.20)
причем
X [*<*>(*)]= min х [^(0+ ^+i.^(0(/) + .-- + ^n)W]
^S+l, S.
(S= 1, ... , Л).
Очевидно, справедлива формула (3.4.18). Кр'оме того, так как det С = 1,
то
det X (t) = det Z (t) • det С = det Z (t) Ф 0
и, следовательно, X (t) есть фундаментальная матрица системы
