Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
неравенствах (см. [6], [18]).
Лемма Гронуолла - Беллмана. Пусть u(t)^s0 и f(t)^s0 при t^t" и u(t),
f(t)^Clt0,oo), причем при выполнено неравенство
u(*)"?+S Htjuyjdtu (2.11.1)
to
где с - положительная постоянная. В таком случае при t^t<> имеем
t
иЦ)^сехр\ fitjdtj. (2.11.2)
to
Доказательство. Из неравенства (2.11.1; получаем _-----------------------
--"(?)----
/(0и(*)---------sS/¦(*)• (2.11.3)
С
to
Так как
I
\с + § / (О и (t^ dtj] = f{t) и (t),
то, интегрируя неравенство (2.11.3) в пределах от /0 до t, будем иметь
'
t i In [с+5 f(ti)u(ti)dti\ - In с sg J / ft) ы (*,)<#,.
§ II] ЛЕММЫ ГРОНУОЛЛА - ВЕЛЛМАНА И БИХАРИ 109
Отсюда, используя неравенство (2.11.1), получаем t t и (t) ss с -f- \ f
(ti) и (ti) dti ^ с exp 5 / (U) U (tx) dtu
to
что и требовалось доказать.
Замечание. Переходя в формулах (2.11.1) и (2.11.2) к пределу при с ->-[-
0, убеждаемся, что лемма остается верной, если постоянная с - 0.
Обобщение леммы Гронуолла - Веллмана. Пусть непрерывная положительная
функция u(t) для любых значений
i, т G (а> &) удовлетворяет интегральному неравенству
t
и (t) ^ и (т) -f- $ / (tt) и (tt) \dtt\, (2.11.4)
t
где f (t) (a, b) и f(t)^s0 при a<^t<^b. Тогда при
<t<^b справедлива двусторонняя оценка
t t
и (t{)) exp [- I f (h) dt^ ^u(t)^u (t") exp [$ / (^) dt^. (2.11.5)
*0 *0
Доказательство. Из неравенства (2.11.4) при имеем
t
и (t) и (т) -f- $ / (ti) и (ti) dti.
•С
Отсюда на основании леммы Гронуолла - Веллмана получаем
t
u(t)^u (т)ехр ^ / (t^dt^. (2.11.6)
Аналогично из неравенства (2.11.4) при t^x находим
т
и (t) и (т) -f- $ / (ti) и (ti) dti. t
Отсюда, используя метод доказательства леммы Гронуолла - Веллмана, будем
иметь
u(t)
1
В (*) + $/(<!) "",)<",
t
-/(*)"(*)
•с
В (т)+$/(<!)"(<,) Л, t
fit)-
110 устойчивость линейных дифференциальных систем ;гл. II
Интегрируя последнее неравенство в пределах от t до х, получим
1п и (х) - 1п [и (х) + \ / (ti) и (ti) dti] ^-]f (ti) dtu t t
т. e.
X T
u(i)^u (x) 4- 5 / (ti) и (ti) dti sc и (x) exp $ / (/,) dh t t
Заменяя теперь / на x и x на t, из последнего неравенства при /5э=х
находим
t
и (х) ss и (t) exp ^ / (^) dti
Г
и, следовательно,
u(t)^u (х) exp [- \f (ti) dti\. (2.11.7)
Полагая х = /" в неравенствах (2.11.6) и (2.11.7), получим оценку
(2.11.5).
Приведем еще одну лемму, обобщающую лемму Гронуолла - Беллмана.
Лемма Бихари (см. [18]). Пусть u(t)^0 и f(t)^0 при t^sta, причем u(t),
f(t)^C[t0, оо) и имеет место неравенство
t
U (t) < с 4- 5 / (ti) ф (и (ti)) dti, (2.11.8)
h .
где с - положительная постоянная и Ф (и) -; положительная непрерывная
неубывающая функция при 0<^и<^й (й со), и пусть
U
^(и)==$Фтёу (°<"<аУ (2.11.9)
С
Тогда, если
t
S f(ti)dti<W(a - °) (/"</<с"), (2.11.10)
*0
то при /0 ^*<°о справедливо неравенство
t
и (/) ЧГ1 [$ f(ti)dti\ (2.11.11)
'о
где Ч^1 (и) - функция, обратная W (и).
В частности, если й = со и f (оо) = оо, то неравенство (2.11.11)
выполнено без всяких ограничений.
§ 11| ЛЕММЫ ГРОНУОЛЛА - ВЕЛЛМАНА И БИХАРИ 111
Доказательство. В силу возрастания функции Ф(и) из неравенства (2.11.8)
получаем
Ф(ы(0)^Ф[с + 5 / ft) Ф(и (*!))<**,]. (2.11.12)
h
Отсюда
_____f-рл^т__________^ f {t).
k+5 /(^)ф (и (^))",
Интегрируя неравенство (2.11.12) по / в пределах от t0 до t, при 12=
будем иметь
3-------1 ------------^\f{h)dh. (2.11.13)
to ф [с+ $/(*,) ф <B(^))"i] h
h
Пусть
W (t) = C + j / (ii) ф (u ft)) dtu
*0
тогда
Следовательно, формула (2.11.13) принимает вид
t W{t) t
1' w' (t) dt Г dw С , .. ,,
Ф [w (<)] J ' Ф (w) \ f ^ d u
Отсюда- на основании формулы (2.11.9), учитывая, что w(t0)~ = с^> 0 и
w(t)^c^> 0, будем иметь
w(w(i))~w(w(i0)) ^{ f(U)dtu
*0
или, так как ЧГ (w (t")) = ЧГ (с) = 0, то
t
ЧГ(о"(0Х5 f(tx)dh. (2.11.14)
А)
Ввиду того, что
при °<ы<й-
функция v = 4 (и) имеет однозначную непрерывную монотонно возрастающую
обратную функцию ы = ЧГ_1(и), определенную в области ЧГ(-|-0)<^и<^ЧГ(й-
0), где ?(-f0)<0. Поэтому, если
112 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 1 ГЛ. ГГ
выполнено неравенство (2.11.10), то из неравенства (2.11.14) получаем
с + { / &)ф (" (*i)) dt! = W-1 [( f (t,) <#,].
Отсюда в силу неравенства (2.11.8) вытекает искомое неравенство
(2.11.11).
Следствие 1. Если Ф(и) -и, то имеем неравенство Гро-нуолла - Веллмана
(2.11.2).
Следствие 2. Если Ф(и) = ит (т^>0, тФ 1), т. е. выполнено неравенство
7
u(0^c + 5 f (h) [и dh при ^0
то
u(0ss|y -т)\ f(h)dt^l-m при 0<т<1
u{t)^---------------------c-t----------------- (2.11.15)
^0
§ 12. Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной
матрицей
Теорема 1 (см. [6]). Пусть система
Ж = Ах' (2-12.1)
где А - постоянная (п X п)-матрица, устойчива при t -> оо. Тогда
система
Q = [A+B{t)]y, (2.12.2)
где В (t) ? С [/0, оо) и
\ ||B(Q||<ft<oo, (2.12.3)
*0
такзхе устойчива при t -> оо.
§ 12] УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОЧТИ ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ 113
Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно считать, что ^0
= 0.
Пусть X (t)-фундаментальная матрица системы (2.12.1) такая, что Х(0) = Е.
