Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4.17).
2) Докажем теперь, что так построенная матрица X (t) является нормальной
фундаментальной матрицей системы (3.4.17).
Пусть аь аш (т^п) - полная совокупность различных характеристических
показателей системы X. Рассмотрим произвольную группу решений л;*"1*'
(/), ..., лг1"*-5' (t) из X (t), обладающих одним и тем же
характепистическим показателем
Xl*1"*1 (*)] = ", (/ = !,•••, k- s?[ 1, т}).
Для любой их линейной комбинации
У (0 = Ц а/Х1"'1' (0 (а, ф 0)
имеем
х1у(т
(3.4.21)
С другой стороны, полагая
на основании структуры формул (3.4.20) получаем у (0 = apx(nps) (t) 4-
2 ajX{nis] (t) -- = ap [zl'V (t) -f ^ Ш
njs>nps
PS
5 Ъ] ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 147
где ар 9= 0 и Ь) - некоторые постоянные, не обязательно отличные от нуля.
Отсюда, учитывая способ комплектования функций находим
y,[y(t)]^yAx[nps] (t)] = o.s.
Таким образом,
X [2 aJ*W,s' (0] = (а/ * 0). (3.4.22)
7
Рассмотрим теперь произвольную линейную комбинацию
2 bJx{ni' (t) (bj Ф 0)
/
решений из фундаментальной матрицы X(t). Выделяя из них максимальные
совокупности решений x(nis) (t), обладающих одинаковыми
характеристическими показателями %s, и учитывая формулу (3.4.22); будем
иметь
X [2 bJX{n< (0] = X f2 s bJsxiai*' (/)] = шах х f S bjsxinfs' (О] =
' / s J s j
= max a5 = max x [xni> (01-
* /
Следовательно, система X обладает свойством несжимаемости и в силу
теоремы Ляпунова является нормальной.
Следствие. Если линейная система (3.4.17) имеет треугольную
фундаментальную матрицу
Z(t) =
zn(t) 0 ... 0
z-м (t) гп (t) ... 0
-Z-n\ (t) Zn% (fy • • • Znn (t)
то для этой системы существует нормальная треугольная матрица X(t) =
(Xjk(t))r где xJk(t) = 0 при &>>/, причем Xjj(t)~
= zn (0-
Этот результат непосредственно вытекает из формулы (3.4.19).
§ о. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной
дифференциальной системы
Пусть
§=A(t)x, (3.5.1)
где A(t)?C {а, оо), sup || A (t) [| < оо, и {оц.... %т\ - спектр
системы (3.5.1), причем т^п.
148 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА !ГЛ. III
Теорема. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы
(3.5.1) достаточно, чтобы наибольший характеристический ее показатель был
бы отрицательным, т. е.
a = maxaft<^0. (3.5.2)
k
Доказательство. Пусть X (t) Ф 0 - произвольное нетривиальное решение
системы (3.5.1). Выберем е^>0 столь малым, чтобы имело место неравенство
а-)- е <^0.
Так как
Х[*(0]<а + е,
то имеем
!! х (t) i] _ ,
~V+7+-*0npH г-* СО,
т. е.
X (t)- о(е("+Е)') при t -> оо
и, следовательно, x(t)-> 0 при t-+ оо. Отсюда следует (§ 7, теорема 2),
что система (3.5.1) (т. е. все ее решения) асимптотически устойчива при
t-^oo.
Замечание. Пусть X (t) = {jCi, ..., хп} - нормальная фундаментальная
система решений и
x[Xj] = aj (/=1...........п).
Положим
X] = eV Ь,
имеем (см. § 1, теорема 3, следствие)
aJ ~ X \-хА = aj-Ь X [?;]>
т. е.
Х[?Л = °-
Таким образом, общее решение системы (3.5.1) может быть записано в виде
*=2 Cjlj (9 ""Л (3.5.3)
у= 1
где cj - произвольные постоянные, х[?у(0] = 0. *]- точки спектра,
Z,j(t)eaj'-линейно независимые частные решения; при этом ai повторяется
столько раз, сколько раз встречается частное решение с характеристическим
показателем o.j в нормальной фундаментальной системе решений.
§ 6] НЕРАВЕНСТВО ВАЖЕВСКОГО 149
§ 6. Неравенство Важевского
Теорема (см. [22]). Для любого решения линейной дифференциальной системы
d? = A(t)x (Л (0 е С [*", со)) (3.6.1)
при t0-^t<^oo справедливо неравенство
t t
\x(t0) |ехр$А(/,)^!^|л;(01<!.х;(/о)|ехр$ A(t,)dtu (3.6.2) Л) Л"
где ] х (t) | - евклидова норма вектора x(t);>-(t) и Л (t) -
наименьший и наибольший характеристические корни эрмитово-симмет-
ризованной матрицы:
A"{t)=\[A(t) + A*m, (3-6.3)
причем А (/) = [ajk (/)] и A* (i) = [akj(/)] - ее эрмитово-сопряженная
матрица
Доказательство. Пусть
х = colon [хи ..., хп]
- нетривиальное решение системы (3.6.1) и
х*=(хи ..., хп)
- эрмитово сопряженный вектор-строка. Очевидно,
] х\* = х*х.
В силу системы (3.6.1), учитывая, что
тг = Ст)'=*'Л*".
получаем
?t(\x\9) = x*^+%?x = x* A(t)x + x*A*(t)x = 2x*AH(t)x.
(3.6.4)
Так как матрица Ан(t) эрмитова, то при любом / ^ [4, со) будем иметь (гл.
I, § 5)
X (/) х*х "S х* Ан (t) х Л (t) х*х,
где X (t) и Л (t) - соответственно наименьший и наибольший корни векового
уравнения
det [AH(t)~lE]= 0.
150 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Поэтому на основании формулы (3.6.4) находим
2А. (0 |лг|а< dM (i X j2) ^ 2A (t) | jt Г2. (3.6.5)
Интегрируя неравенство (3.6.5) в пределах от t0 до t, получим формулу
(3.6.2).
Формула (3.6.2), очевидно, справедлива также и для тривиального решения
лг = 0.
Следствие 1. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы
(3.6.1) достаточно выполнения условия
A(t)s^-h<^ 0 при t?[t0, со),
где h - положительная постоянная.
Следствие 2. Спектр линейной системы (3.6.1) целиком расположен на
отрезке [I, Ь], где
i
I = lim-)- i
t -> oo 1 J Го
U
t
t = lim y ^ A (tt) dti.
