Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
226
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
потенциала является A0 ( = Q#/r). Из этого лагранжиана нетрудно получить уравнения движения (ср. с уравнениями (65))
Рис. 18. Последняя неустойчивая круговая времениподобная орбита (радиус 4,89уИ, = 0,8). Горизонты показаны штрихпунктирными окружностями, единица длины вдоль осей координат равна М.
а вместо уравнения (67) теперь имеем
-I- {2ID) (M - qQ^E) и - - (I F2)/ZA (106)
Чтобы частица имела точку поворота точно на горизонте событий, ее энергия, как следует из уравнения (105), должна быть равна
E = QQJr+. (107)
Эта величина отрицательна, если qQ* << 0, что приводит к возможности извлекать энергию из черной дыры, —энергию, обусловленную ее зарядом. Процессы такого типа будут рассмотрены в гл. 7.
4L Описание в формализме Ньюмена—Пенроуза
227
41. Описание пространства-времени
Pe йссне pa— Но рдст рема
в формализме Ньюмена—Пенроуза
Построим изотропную тетраду, необходимую для описания пространства-времени Рейсснера—Нордстрема в формализме Ньюмена—Пенроуза. Выберем векторы (70), задающие радиальные изотропные геодезические
V =- (/', /г, /°, /ф) = (1/А)(г2, -;- А, 0, 0),
W К, /гг, яв, лф) (1/2г2) (г2, —А, 0, 0) ' (108)
в качестве двух вещественных изотропных базисных векторов и добавим к ним комплексный изотропный вектор
т1' = (/я<, т\ m0, т?)---(l/г і 2)(0, 0, 1, / cosec Є), (109)
ортогональный векторам 1 и п. Эти векторы удовлетворяют требуемым условиям нормировки:
1-п = 1, mm-— 1. (110)
Базисные векторы (I, п, т, т) только видом функции А отличаются от аналогичных базисных векторов, определенных в гл. 3 (уравнения (281)—(283)). Поэтому при вычислении спиновых коэффициентов нужно внести лишь незначительные изменения. В результате получаем (ср. с уравнениями (287) и (288) гл. 3)
x = g = A, = v = є = л = т = 0,
р = — 1/г, ? = — a (l/2r Y 2) ctg 9, ц = —A/2r3, (111)
у = fx + (г - M)/2r2 = (Mr — Q2)/2r3. (112)
Равенство нулю спиновых коэффициентов х, g, А, и v подтверждает принадлежность пространства-времени Рейсснера—Норд-стрема к типу D по классификации Петрова. Следовательно, в выбранном базисе вейлевские скаляры Y0, Y1, Y3 и Y4 должны быть равны нулю, что можно проверить прямым вычислением, свертывая тензор Римана (не равные нулю компоненты которого выписаны в (64)) в соответствии с определением этих скаляров. Единственный не равный нулю вейлевский скаляр — это Y2. Для него находим (ср. с уравнением (289) гл. 3)
- Rvqrslpm^nrth" = = (e-^/4r) (R0101 cosec2 0 г R0303 - R2323 - R1212 cosec2 0). (113)
Подставляя в это выражение компоненты тензора Римана, (64), получаем
W2'--—(Mr - q])t-K (111)
228
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Остается найти значения максвелловских скаляров в метрике Рейсснера—Нордстрема. Среди них отличен от нуля лишь скаляр </>ь который равен
=¦- 1UFvq (lpn« + mvtrv) = 42Ftr (VrC - Vn*) --- 1I2Qj-*. (115)
42. Метрические возмущения решения Рейсснера—Нордстрема
Как и в случае решения Шварцшильда, при исследовании возмущений метрики Рейсснера—Нордстрема можно линеаризовать уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла около решения Рейсснера—Нордстрема, предполагая, что полная метрика является нестационарной и аксиально-симметричной:
ds2 = e2v (dO2 - є** (сіф - (о dt - q2 dx2 - q2 dx3)'2 -
-e2»*(dxy-e2^(dx3)2. (116)
Начнем с уравнений Максвелла.
а. Линеаризованные уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла, выписанные в гл. 2 (уравнения (95)), в метрике (116) принимают вид
(e*+»*F12), з + (e^F3l\ 2 - 0, (^+vfoi), 2 + (^+м*Л2),о = О,
И+^оі),з + (^^^ізЬ = 0, (117)
(є»»+»-Foil о + (e^F12)t2 h (?v+^F13),3 -=
- ^ 1^F02Q02 + e^F03Q03 - ^f23q23; (e^F02\2 f (?*-^.Fo3b = 0, ^23),2-1-(^+^03),0 = 0, + (^^23),3 + (^^02),0 = 0, (118)
(^^02),3 - (^^03),2 + (e»*+»*F23),o ---
=--= ^+47Z7oiq23 f e*+**F12Qos - ^+^F13Q02,
где
Qab =¦ Яа,в-Ув,а, Qao = <Ia,o-«>,a (4,5-2,3). (119)
В первую группу уравнений (117) входят только такие величины (или такие произведения величин), которые меняют знак при замене ф на —ф, а во вторую группу уравнений (118) входят только величины, инвариантные относительно обращения знака ф. Это соответственно аксиальные и полярные величины (как мы их определили в § 24 гл. 4). Кроме того, в каждой из двух групп уравнений можно обойтись без первого уравнения, поскольку каждое из них является условием интегрируемости для двух следующих уравнений данной группы.
В рассматриваемом случае единственной не равной нулю ком-
42. Метрические возмущения
229
понентой тензора Максвелла является F02 ( = —Q*r~2), а величины QAB — первого порядка малости, и линеаризованные уравнения (117) и (118) (без первых уравнений в каждой группе) приобретают следующий вид:
(revF0l sin 0),г + re^F12i о sin Є =-- 0, (120)
re* (F01 sin 0), e + r2F13) о sin в - 0, (121)
re-xFol9o + (re*F12)tr +F133 0 = -Q.(eo,2-<72,o)sin9, (122)
re-F03,0 = (re-F23),n (123)
OF02,0 - (QJr2) (6ф + 6fx3), о + (ejr sin 9) (F23 sin 0), o-O, (124)
