Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Ф4 (г, G) = R_2 (г) S_2 (G), Ф3 (г, G) = R_, (г) S_x (G), п (г, G) = п (г) S.! (G), I (г, G) = I (г) S_2 (G),
F_i = rW_i} G_i = (L\/r*)X_i. (254)
Угловые функции S-1 (G) и S_2 (G) удовлетворяют «присоединенным уравнениям»
9?-xZtS-2 - -fi2S_2, S^SUS-i = -fi2S._! (255) и связаны между собой соотношениями
S\S^ = —H-S-1. ^-iS-i = + pS_2. (256)
Таким образом, уравнения формализма Ньюмена—Пенроуза для вейлевских и максвелловских скаляров, описывающих возмущения черной дыры Рейсснера—Нордстрема, сводятся к стандартному уравнению такого же вида, что и для черной дыры Шварцшильда, полученному в гл. 4.
244
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
45. Теория преобразований
Пара уравнений (249) и (252), к которым в § 44 свелись уравнения Ньюмена—Пенроуза, отличаются от соответствующих уравнений, рассмотренных в § 30 (гл. 4, уравнение (284) и комплексно сопряженное ему), лишь в одном несущественном пункте: в определении P1 величина А2 заменена на D1. Поэтому теория преобразований, развитая в § 30, применима с незначительными изменениями и в данном случае.
Наша цель — преобразовать уравнения (249) и (252) так, чтобы получилась пара одномерных волновых уравнений вида
A2Z, = VtZi (257)
для некоторых подходящим образом определенных потенциалов.
Займемся сначала преобразованием уравнения (249). Будем писать (удобства ради) Y1 вместо Y+i. Исследование уравнения (252) отличается от исследования уравнения (249) только изменением знака а и заменой всюду Л_ на A+ и обратно.
Так же как и в § 30, начнем с подстановки (ср. с уравнением (287) гл. 4)
Y1 = fiViZi + (W1 ¦f 2iafi) A+Z1 (258)
и получим следующие уравнения (ср. с уравнениями (290)—(292) гл. 4):
AY1 = - (Di/r*) № + R1A+Zi9 (259)
- (Dilr") ?, = JL. (fiVi) + W1Vu (260)
Условие совместности уравнений (249) и (257) приводит к уравнениям (ср. с уравнениями (298)—(300) гл. 4)
- ^ ft = {Qifi ~Ri) П (262)
(-Щ Ri) = ЖlQiWi + 2ia {Qifi ~ Rt)] + ?* (263)
и интегралу
(r8/Di) RiftVi + ?f (W1 + 2iafi) = Kt^ const. (264)
а. Допустимость дуальных преобразований. Убедимся, что, как и в случае шварцшильдовых возмущений, уравнения (260)— (264) совместны с условиями
?i = const, ff і = 1 (265)
и допускают дуальные преобразования с двумя значениями ?j с противоположными знаками.
45. Теория преобразований
245
Как и в § 30 (гл. 4, уравнения (307) и (311)), условие существования дуальных преобразований требует, чтобы функции
Ft = г* (QtID1) = (гЧА) OxV + qj) (f, /=1,2; ІФІ) (266)
удовлетворяли дифференциальному уравнению
і(*У-^+>4^ <267>
при некоторых специально выбранных постоянных значениях ?2 и x, = /0-2ia?,. (268)
Легко видеть, что функции Ftl определенные уравнением (266), действительно удовлетворяют уравнению (267), если
?? = qJ (і, /=1,2; іф j), кс = х =.- р2 (р2 + 2). (269)
Потенциалы Vt\ связанные с дуальными преобразованиями, соответствующими значениям ±?у, имеют следующий вид (ср. с уравнением (317) гл. 4):
= ±?/ -§L + qft + ид. (i, /=1,2; t /), (270)
/, = 1IF1 =-- А/г» (ji'r + <7/) (/, /=1,2; / /). (271)
Сравнение с уравнением (197) показывает, что потенциалы (270) совпадают с потенциалами в волновых уравнениях, определяющих аксиальные и полярные возмущения.
Заметим также, что (ср. с уравнением (312) гл. 4)
^' = --^-111/,4=(7//,, (272)
или в явном виде
Г<•-> = = (2/г2) {г - ЗМ + 2Q2Jr), (273)
№<•+> = №(-> - 2^-Д/г3 (ц2г + ?/) (і, / = 1, 2; і # j). (274)
Выпишем в явном виде искомые преобразования (ср. с уравнениями (318) и (319), гл. 4):
Yi = Z(^ + (W^ + 2ш) A+Z}*', (275)
A1Yc = TZV-V^ + Q.A+Z^, (276)
/С^*' = Q6ID1) Q1Yi - (г8/Д) -f 2/сх) А_У,, (277)
K^A+Z^ = ±<7/У, + (r8/D,) V^A-Y1. (278) Напомним, что
= (А/г4) (1 + 2<7,/и2г) (1 + ^M2/-) = и2 (А/г*А) (1 + q,l\?r), (279)
/(Iі» = ц2 (ц2 + 2) ± 2ш<//. (280)
246
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
С помощью уравнения (247) получаем из уравнений (276) и (277) следующие соотношения:
IiXj = +qiZf + ^2 (г4/А) (1 f qj/\i2r) A+Zt, (281)
KUt = (И/А) (1 + цф) Y1 - (Wf + 2ia) IiXh (282)
Как упоминалось выше, всюду в уравнениях мы писали Y1 и X7-вместо Y+i и X+j. Для получения соответствующих уравнений, связывающих Y_t и Х_7- с функциями Zj±), необходимо лишь поменять знак а и всюду писать A+ вместо Л_.
б. Асимптотическое поведение функций Y±i и X±j. Вследствие короткодействующего характера потенциалов И±) решения Zi-±) имеют асимптотики exp (±ior#), как при г% -> + оо, так и при г* -> —оо (ср. с § 47 ниже). Этот факт можно использовать (как в подобном случае в § 32) для получения асимптотик функций Y±і и X+/. При этом используются уравнения (275)— (278), (281) и (282). Вывод асимптотических формул основывается лишь на том, что
У\±]-*0, Qt-^O9 fi-+0, Di-^O (/.-*±оо); (283) ±__ f О (г^ + оо),
Wl = (-(2/4) (Mr+- Ql) (г.—оо). (284)
Заметим, что предельное значение функций W^ на горизонте не зависит от индекса і и одинаково для Wi+) и Wl-K
